چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
80 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
ویرایش شده توسط fardina

انتگرال زير را بدست آوريد..l

$$ \int_\pi^2\lfloor \sin x-\cos x\rfloor$$

واينكه روش حل كلي انتگرال هايي به اين شكل(عبارت مثلثاتي درون جزؤصحيح قرار گرفته اند) هستند چگونه بايد محاسبه كرد ممنون

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

کلا برای حل انتگرال های به صورت $\int_a^b \lfloor f(x)\rfloor dx$ باید ببینیم در چه بازه هایی $f(x)$ بین دو عدد صحیح متوالی قرار می گیرد و سپس از خاصیت خطی انتگرال ها استفاده می کنیم. مثلا $\int_0^2[x]=\int_0^1[x]+\int_1^2[x]=\int_0^1 0+\int_0^1 1=0+1=1$

در اینجا درفاصله $2$ تا $\pi$ چون $0\leq \sin < 1$ و $-1\leq \cos x< 0 $ بنابراین $0\leq \sin x-\cos x< 2$ بنابراین باید ببینیم در کجا $ 0\leq \sin x-\cos x< 1 $ و در کجا $1\leq \sin x-\cos x< 2$

برای حل $\sin x-\cos x> 1$ طرفین را به توان دو برسانیم داریم $\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x>1$

اما چون $\sin^2x+\cos^2x=1$ لذا با جاگذاری داریم $1-2\sin x\cos x> 1$

که معادل است با $\sin 2x=2\sin x\cos x< 0$

اما می دانیم چنانچه $(2n-1)\pi< 2x< 2n\pi$ که $n\in\mathbb Z$ در اینصورت $\sin 2x< 0$

پس از جمله به ازای $n=1$ داریم $\pi< 2x< 2\pi$ یا $\frac \pi2< x< \pi$ یعنی در فاصله $(\frac \pi2, \pi)$ داریم $\sin x-\cos x> 1$ و چون $(2, \pi)\subset (\frac\pi2, \pi)$ پس در $(2, \pi)$ داریم $\sin x-\cos x> 1$ و از طرفی می دانیم $\sin x-\cos x< 2$ پس $\lfloor \sin x-\cos x\rfloor=1$ و داریم

$$\int_2^\pi\lfloor \sin x-\cos x\rfloor =\int_2^\pi 1=\pi-2$$

چون شما گفتید $\int_\pi^2$ پس جواب شما میشه $2-\pi$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 416
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709558
...