به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
80 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
ویرایش شده توسط fardina

انتگرال زير را بدست آوريد..l

$$ \int_\pi^2\lfloor \sin x-\cos x\rfloor$$

واينكه روش حل كلي انتگرال هايي به اين شكل(عبارت مثلثاتي درون جزؤصحيح قرار گرفته اند) هستند چگونه بايد محاسبه كرد ممنون

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

کلا برای حل انتگرال های به صورت $\int_a^b \lfloor f(x)\rfloor dx$ باید ببینیم در چه بازه هایی $f(x)$ بین دو عدد صحیح متوالی قرار می گیرد و سپس از خاصیت خطی انتگرال ها استفاده می کنیم. مثلا $\int_0^2[x]=\int_0^1[x]+\int_1^2[x]=\int_0^1 0+\int_0^1 1=0+1=1$

در اینجا درفاصله $2$ تا $\pi$ چون $0\leq \sin < 1$ و $-1\leq \cos x< 0 $ بنابراین $0\leq \sin x-\cos x< 2$ بنابراین باید ببینیم در کجا $ 0\leq \sin x-\cos x< 1 $ و در کجا $1\leq \sin x-\cos x< 2$

برای حل $\sin x-\cos x> 1$ طرفین را به توان دو برسانیم داریم $\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x>1$

اما چون $\sin^2x+\cos^2x=1$ لذا با جاگذاری داریم $1-2\sin x\cos x> 1$

که معادل است با $\sin 2x=2\sin x\cos x< 0$

اما می دانیم چنانچه $(2n-1)\pi< 2x< 2n\pi$ که $n\in\mathbb Z$ در اینصورت $\sin 2x< 0$

پس از جمله به ازای $n=1$ داریم $\pi< 2x< 2\pi$ یا $\frac \pi2< x< \pi$ یعنی در فاصله $(\frac \pi2, \pi)$ داریم $\sin x-\cos x> 1$ و چون $(2, \pi)\subset (\frac\pi2, \pi)$ پس در $(2, \pi)$ داریم $\sin x-\cos x> 1$ و از طرفی می دانیم $\sin x-\cos x< 2$ پس $\lfloor \sin x-\cos x\rfloor=1$ و داریم

$$\int_2^\pi\lfloor \sin x-\cos x\rfloor =\int_2^\pi 1=\pi-2$$

چون شما گفتید $\int_\pi^2$ پس جواب شما میشه $2-\pi$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5477
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5017711
...