چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
322 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط fardina
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

حاصل حد $\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} $ کدام است؟

  1. $ -\frac 32$
  2. $ -\frac 34 $
  3. $ -\frac 14$
  4. $ \frac 32 $
دارای دیدگاه توسط hadisnoori
انتقال داده شده توسط admin
+2

فکر کنم از طریق هم ارزی و بسط تیلور تابع$cos $ جواب بدست بیاید

دارای دیدگاه توسط مهران
+1
میشه این کارو کرد که تو صورت کسر یه کسینوس زیاد و یه کسینوس کم کنیم.بعد از هم
ارزی  کسینوس منهای یک که برابر منهای ایکس به توان دو تقسیم بر دو استفاده کنین.اون کسینوس منهای رادیکال کسنوس رو هم گویا و از همون هم ارزی استفاده کنین.اغلب تستای اینجوری به این شکل حل میشه.

4 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط jafar
 
بهترین پاسخ

استفاده ترکیبی از هوپیتال و هم ارزی( $ sin(U) \sim U $ ):

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2}& =^{هوپیتال} \lim_{x\to 0}\frac{-2sin(x).cos( x)- \frac{-sin(x)}{2\sqrt{\cos x}} }{2x} \\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-sin(2x)+ \frac{sin(x)}{2\sqrt{\cos x}} }{2x} \\ & =^{هم ارزی} \lim_{x\to 0}\frac{-2x+ \frac{x}{2\sqrt{\cos x}} }{2x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-2+ \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} }{2} \\ &= \frac{-2+ \frac{1}{2} }{2} \\ &= \frac{-3}{4}\end{align}$$ یعنی گزینه ی $2$ جواب درست است.

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
ممنون بابت ویرایش، اینجوری زیباتره حواسم نبود زیر هم بنویسمش.
البته اگه میتونی فاصله ی بین عبارات رو زیاد کن چون مخرج یکی با صورت دیگری خیلی نزدیکند.ممنون
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
خواهش میکنم.
کدوم خط؟ برای من که درسته!
دارای دیدگاه توسط zh
+1
دوستان خیلی خوبه که سوال مطرح بشه ولی بنظرم بهتره سوالاتی در سایت گنجانده بشه که قبلا پاسخی براشون مطرح نشده. جواب سوالات کنکور سراسری در سایتهای مختلف پیدا میشه.
+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ياد آوري

$$\cos^{n}u \sim 1- \frac{ nu^{2} }{2} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ u \to 0$$

مثال

$$ \cos^{2}x \sim 1- \frac{2 x^{2} }{2} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ x \to 0$$ $$ \sqrt{\cos x } \sim 1- \frac{x^{2} }{4} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ x \to 0$$

حل سوال

$$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \cos^{2} x- \sqrt{\cos x} }{ x^{2} } &\sim \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1- \dfrac{2 x^{2} }{2}-(1- \dfrac{ x^{2} }{4} ) }{ x^{2} }\\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-3 x^{2} }{4 x^{2} }\\ &= \frac{-3}{4} \end{align}$$
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

از داشته های ابتدایی بدون هم ارزی و هوپیتال میخواهیم حاصل حد زیر را حساب کنیم :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =? $$

بدون هم ارزی و هوپیتال ثابت میشود که :

$$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$$ $$\lim_{x\to 1}\dfrac{1-x^n}{1-x}=n$$

$n$ میتواند گویا هم باشد .


حال سوال را بررسی میکنیم :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =\lim_{x\to 0}\dfrac{(\cos^2 x-1)+(1-\sqrt{\cos x})}{x^2} $$

حال دو حد زیر را با استفاده از حد های ذکر شده محاسبه میکنیم :

$$\lim_{x \to 0}(\dfrac{-(1-\cos^2 x)}{1-\cos x}\cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2})=-1$$ $$\lim_{x \to 0}(\dfrac{(1-\sqrt{\cos x})}{1-\cos x}\cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2})=\dfrac{1}{4}$$

مجموع این دو حد برابر است با حد مورد نظر بنابراین خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =\dfrac{-4}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{-3}{4} $$
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط good4us
$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( cosx-1)(cos^{2}x+cos x+1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )}= $ $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( cos^{3}x-1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )}= $ $ =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( -2sin^2 \frac{x}{2} )(cos^{2}x+cos x+1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )} $
$= \frac{1 \times (-2 )\times\frac{1}{4} \times 3 }{2}= \frac{-3}{4} $
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
84 نفر آنلاین
0 عضو و 84 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5735
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4500855
...