به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
328 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط fardina
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

حاصل حد $\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} $ کدام است؟

  1. $ -\frac 32$
  2. $ -\frac 34 $
  3. $ -\frac 14$
  4. $ \frac 32 $
دارای دیدگاه توسط hadisnoori
انتقال داده شده توسط admin
+2

فکر کنم از طریق هم ارزی و بسط تیلور تابع$cos $ جواب بدست بیاید

دارای دیدگاه توسط
+1
میشه این کارو کرد که تو صورت کسر یه کسینوس زیاد و یه کسینوس کم کنیم.بعد از هم
ارزی  کسینوس منهای یک که برابر منهای ایکس به توان دو تقسیم بر دو استفاده کنین.اون کسینوس منهای رادیکال کسنوس رو هم گویا و از همون هم ارزی استفاده کنین.اغلب تستای اینجوری به این شکل حل میشه.

4 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط jafar
 
بهترین پاسخ

استفاده ترکیبی از هوپیتال و هم ارزی( $ sin(U) \sim U $ ):

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2}& =^{هوپیتال} \lim_{x\to 0}\frac{-2sin(x).cos( x)- \frac{-sin(x)}{2\sqrt{\cos x}} }{2x} \\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-sin(2x)+ \frac{sin(x)}{2\sqrt{\cos x}} }{2x} \\ & =^{هم ارزی} \lim_{x\to 0}\frac{-2x+ \frac{x}{2\sqrt{\cos x}} }{2x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-2+ \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} }{2} \\ &= \frac{-2+ \frac{1}{2} }{2} \\ &= \frac{-3}{4}\end{align}$$ یعنی گزینه ی $2$ جواب درست است.

دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
ممنون بابت ویرایش، اینجوری زیباتره حواسم نبود زیر هم بنویسمش.
البته اگه میتونی فاصله ی بین عبارات رو زیاد کن چون مخرج یکی با صورت دیگری خیلی نزدیکند.ممنون
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
خواهش میکنم.
کدوم خط؟ برای من که درسته!
دارای دیدگاه توسط zh
+1
دوستان خیلی خوبه که سوال مطرح بشه ولی بنظرم بهتره سوالاتی در سایت گنجانده بشه که قبلا پاسخی براشون مطرح نشده. جواب سوالات کنکور سراسری در سایتهای مختلف پیدا میشه.
+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ياد آوري

$$\cos^{n}u \sim 1- \frac{ nu^{2} }{2} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ u \to 0$$

مثال

$$ \cos^{2}x \sim 1- \frac{2 x^{2} }{2} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ x \to 0$$ $$ \sqrt{\cos x } \sim 1- \frac{x^{2} }{4} \ \ \ \ : \text{as} \ \ \ \ x \to 0$$

حل سوال

$$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \cos^{2} x- \sqrt{\cos x} }{ x^{2} } &\sim \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1- \dfrac{2 x^{2} }{2}-(1- \dfrac{ x^{2} }{4} ) }{ x^{2} }\\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-3 x^{2} }{4 x^{2} }\\ &= \frac{-3}{4} \end{align}$$
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

از داشته های ابتدایی بدون هم ارزی و هوپیتال میخواهیم حاصل حد زیر را حساب کنیم :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =? $$

بدون هم ارزی و هوپیتال ثابت میشود که :

$$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$$ $$\lim_{x\to 1}\dfrac{1-x^n}{1-x}=n$$

$n$ میتواند گویا هم باشد .


حال سوال را بررسی میکنیم :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =\lim_{x\to 0}\dfrac{(\cos^2 x-1)+(1-\sqrt{\cos x})}{x^2} $$

حال دو حد زیر را با استفاده از حد های ذکر شده محاسبه میکنیم :

$$\lim_{x \to 0}(\dfrac{-(1-\cos^2 x)}{1-\cos x}\cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2})=-1$$ $$\lim_{x \to 0}(\dfrac{(1-\sqrt{\cos x})}{1-\cos x}\cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2})=\dfrac{1}{4}$$

مجموع این دو حد برابر است با حد مورد نظر بنابراین خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x-\sqrt{\cos x}}{x^2} =\dfrac{-4}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{-3}{4} $$
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط good4us
$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( cosx-1)(cos^{2}x+cos x+1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )}= $ $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( cos^{3}x-1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )}= $ $ =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos x( -2sin^2 \frac{x}{2} )(cos^{2}x+cos x+1) }{x^2(cos^{2}x+ \sqrt[]{cos x} )} $
$= \frac{1 \times (-2 )\times\frac{1}{4} \times 3 }{2}= \frac{-3}{4} $
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...