به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
126 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

یک مثال برای اعداد بتی و نحوه ی بدست آوردن دقیق آن ها را بیاورید ممنون

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

مثلا ایده آل دلخواه $I=(xyz,xqw,xwy,yxq,yzq,xye,qwe) $ را در نظر بگیرید یک روش خوب و راحت برای بدست آوردن اعداد بتی بدست آوردن تحلیل مینیمال ($ minimal \ resolution $) است که با استفاده از نرم افزار $cocoa $داریم:

$ 0 \rightarrow S(-6) \rightarrow S(-5)^{4} \bigoplus S(-6) \rightarrow S(-4)^{9} \bigoplus S(-5) \rightarrow S(-3)^{7} \rightarrow \frac{S}{I} \rightarrow 0 $

منظور از$ i $ شماره مر حله است از سمت راست مرحله 1 ، 2 ، 3 و 4 را داریم

در مرحله ی 1 فقط $ S(-3)^{7} $ را داریم لذا $ B_{i,j}= B_{1,3} =7 $

در مرحله ی 2 فقط $ S(-4)^{9} \bigoplus S(-5) $ را داریم لذا $ B_{i,j}= B_{2,4} =9 $ و $ B_{i,j}= B_{2,5} =1 $

در مرحله ی 3 فقط $S(-5)^{4} \bigoplus S(-6) $ را داریم لذا $ B_{i,j}= B_{3,5} =4 $ و $ B_{i,j}= B_{3,6} =1 $

در مرحله ی 4 فقط $ S(-6) $ را داریم لذا $ B_{i,j}= B_{4,6} =1 $

(اعداد بتی توانها هستند)

دارای دیدگاه توسط kani1313
+1
ببخشید بجز استفاده از برنامه ی CoCoA راه دیگه ای وجود ندارد؟ یعنی خودمان آن را بدست آوریم؟
تحلیل مینیمال رو چجوری بنویسیم؟
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اگر به کتابایده آلهای تک جمله ای هرزوگ هیبی، صفخه 265 مراجعه نمایید روش کامل و جامع را ارایه داده است که در اینجا این روش را روی یک مثال پیاده می کنم.

برای ایده آل $(x, y, z^2)$ اعداد بتی را می یابیم. ابتدا برای راحتی کار قرار می دهیم $u_{1} =x $ و $ u_{2} =y $ و $u_{3} = z^{2} $ حال تعریف می کنیم $ \varphi :S(-2) \bigoplus S(-1)^{2} \longmapsto I $ که در آن پایه های $ e_{i} $ به $ u_{i} $ نگاشته می شوند ($ e_{1}$و$ e_{2} $ از درجه 1 و $e_{3} $ از درجه 2 است) پس مرحله ی اول بدست آمد. حال برای اینکه مرحله ی دوم را بدست آوریم(نوشتن تحلیل) ابتدا $ker( \varphi ) $ را بدست می آوریم و طبق قضیه اگر بخواهیم تحلیل می نیمال باشد باید مجموعه مولد مینیمال را برای $ ker( \varphi ) $ بیابیم. سپس به طور مشابه بالا عمل می کنیم.

برای اینکار ابتدا را بطه های بین مولد ها را می نویسیم.

$xu_{2}=yu_{1}$ پس $ \varphi (xe_{2}-ye_{1})=xu_{2}-yu_{1}=0$

$ z^{2} u_{1}=xu_{3}$ پس $ \varphi ( z^{2} e_{1}-xe_{3})=z^{2}u_{1}-xu_{3}=0$

$ z^{2} u_{2}=yu_{3}$ پس $ \varphi ( z^{2} e_{2}-ye_{3})=z^{2}u_{2}-yu_{3}=0$

لذا $ ker( \varphi ) $ دارای 3 مولد مینیمال است حال درجه هر عنصر را بدست می آوریم

درجه $ g_{1}= xe_{2}-ye_{1} $: درجه $ e_{1}$ و $y$ برابر 1 است لذا درجه $ye_{1}$ برابر 2 است بطور مشابه درجه $ xe_{2}$ نیز 2 است لذا درجه $ xe_{2}-ye_{1} $ برابر 2 است.

درجه $g_{2}=z^{2} e_{1}-xe_{3}$ برابر 3 است.

درجه $g_{3}=z^{2} e_{2}-ye_{3}$ برابر 3 است.

پس در مرحله بعد تعریف می کنیم $ \phi :S(-2) \bigoplus S(-3)^{2} \longmapsto ker( \varphi )$ که $ {e^{'} }_{i} \mapsto g_{i} $

پس تحلیل زیر را تا بدین جا خواهیم داشت.

$S(-2) \bigoplus S(-3)^{2} \longmapsto S(-2) \bigoplus S(-1)^{2} \longmapsto I $

حال تنها رابطه برای $ker( \phi )$ از رابطه ی $z^{2}g^{1} -xg^{3}+yg^{2}=0$ بدست می آید یعنی

$ \phi (z^{2}{e^{'} }_{1} -x{e^{'} }_{3}+{e^{'} }_{2})=z^{2}g^{1} -xg^{3}+yg^{2}=0 $

در جه ی $ z^{2}{e^{'} }_{1} -x{e^{'} }_{3}+{e^{'} }_{2} $ برابر است با 4 لذا در مرخله آخر $ S(-4)$ را داریم.

با کمک نرم افزار $ cocoa $ هم همین جواب بدست می آید کافیست دستورات زیر را تایپ کنید:

$$ Use R ::= QQ[x,y,z];$$ $$ I := Ideal(x, y, z^2);$$ $$ Res(R/I);$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...