چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
94 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط بی نام
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

یک مثال برای اعداد بتی و نحوه ی بدست آوردن دقیق آن ها را بیاورید ممنون

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

مثلا ایده آل دلخواه $I=(xyz,xqw,xwy,yxq,yzq,xye,qwe) $ را در نظر بگیرید یک روش خوب و راحت برای بدست آوردن اعداد بتی بدست آوردن تحلیل مینیمال ($ minimal \ resolution $) است که با استفاده از نرم افزار $cocoa $داریم:

$ 0 \rightarrow S(-6) \rightarrow S(-5)^{4} \bigoplus S(-6) \rightarrow S(-4)^{9} \bigoplus S(-5) \rightarrow S(-3)^{7} \rightarrow \frac{S}{I} \rightarrow 0 $

منظور از$ i $ شماره مر حله است از سمت راست مرحله 1 ، 2 ، 3 و 4 را داریم

در مرحله ی 1 فقط $ S(-3)^{7} $ را داریم لذا $ B_{i,j}= B_{1,3} =7 $

در مرحله ی 2 فقط $ S(-4)^{9} \bigoplus S(-5) $ را داریم لذا $ B_{i,j}= B_{2,4} =9 $ و $ B_{i,j}= B_{2,5} =1 $

در مرحله ی 3 فقط $S(-5)^{4} \bigoplus S(-6) $ را داریم لذا $ B_{i,j}= B_{3,5} =4 $ و $ B_{i,j}= B_{3,6} =1 $

در مرحله ی 4 فقط $ S(-6) $ را داریم لذا $ B_{i,j}= B_{4,6} =1 $

(اعداد بتی توانها هستند)

دارای دیدگاه توسط kani1313
+1
ببخشید بجز استفاده از برنامه ی CoCoA راه دیگه ای وجود ندارد؟ یعنی خودمان آن را بدست آوریم؟
تحلیل مینیمال رو چجوری بنویسیم؟
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اگر به کتابایده آلهای تک جمله ای هرزوگ هیبی، صفخه 265 مراجعه نمایید روش کامل و جامع را ارایه داده است که در اینجا این روش را روی یک مثال پیاده می کنم.

برای ایده آل $(x, y, z^2)$ اعداد بتی را می یابیم. ابتدا برای راحتی کار قرار می دهیم $u_{1} =x $ و $ u_{2} =y $ و $u_{3} = z^{2} $ حال تعریف می کنیم $ \varphi :S(-2) \bigoplus S(-1)^{2} \longmapsto I $ که در آن پایه های $ e_{i} $ به $ u_{i} $ نگاشته می شوند ($ e_{1}$و$ e_{2} $ از درجه 1 و $e_{3} $ از درجه 2 است) پس مرحله ی اول بدست آمد. حال برای اینکه مرحله ی دوم را بدست آوریم(نوشتن تحلیل) ابتدا $ker( \varphi ) $ را بدست می آوریم و طبق قضیه اگر بخواهیم تحلیل می نیمال باشد باید مجموعه مولد مینیمال را برای $ ker( \varphi ) $ بیابیم. سپس به طور مشابه بالا عمل می کنیم.

برای اینکار ابتدا را بطه های بین مولد ها را می نویسیم.

$xu_{2}=yu_{1}$ پس $ \varphi (xe_{2}-ye_{1})=xu_{2}-yu_{1}=0$

$ z^{2} u_{1}=xu_{3}$ پس $ \varphi ( z^{2} e_{1}-xe_{3})=z^{2}u_{1}-xu_{3}=0$

$ z^{2} u_{2}=yu_{3}$ پس $ \varphi ( z^{2} e_{2}-ye_{3})=z^{2}u_{2}-yu_{3}=0$

لذا $ ker( \varphi ) $ دارای 3 مولد مینیمال است حال درجه هر عنصر را بدست می آوریم

درجه $ g_{1}= xe_{2}-ye_{1} $: درجه $ e_{1}$ و $y$ برابر 1 است لذا درجه $ye_{1}$ برابر 2 است بطور مشابه درجه $ xe_{2}$ نیز 2 است لذا درجه $ xe_{2}-ye_{1} $ برابر 2 است.

درجه $g_{2}=z^{2} e_{1}-xe_{3}$ برابر 3 است.

درجه $g_{3}=z^{2} e_{2}-ye_{3}$ برابر 3 است.

پس در مرحله بعد تعریف می کنیم $ \phi :S(-2) \bigoplus S(-3)^{2} \longmapsto ker( \varphi )$ که $ {e^{'} }_{i} \mapsto g_{i} $

پس تحلیل زیر را تا بدین جا خواهیم داشت.

$S(-2) \bigoplus S(-3)^{2} \longmapsto S(-2) \bigoplus S(-1)^{2} \longmapsto I $

حال تنها رابطه برای $ker( \phi )$ از رابطه ی $z^{2}g^{1} -xg^{3}+yg^{2}=0$ بدست می آید یعنی

$ \phi (z^{2}{e^{'} }_{1} -x{e^{'} }_{3}+{e^{'} }_{2})=z^{2}g^{1} -xg^{3}+yg^{2}=0 $

در جه ی $ z^{2}{e^{'} }_{1} -x{e^{'} }_{3}+{e^{'} }_{2} $ برابر است با 4 لذا در مرخله آخر $ S(-4)$ را داریم.

با کمک نرم افزار $ cocoa $ هم همین جواب بدست می آید کافیست دستورات زیر را تایپ کنید:

$$ Use R ::= QQ[x,y,z];$$ $$ I := Ideal(x, y, z^2);$$ $$ Res(R/I);$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
40 نفر آنلاین
0 عضو و 40 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 760
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709902
...