چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
96 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط رها
ویرایش شده توسط fardina
$ \sum_{j=1}^n cos(jx)= \frac{sin( \frac{nx}{2}).cos( \frac{(n+1)x}{2}) }{sin( \frac{x}{2}) } $

,$x \neq 2k \pi , k \epsilon Z$

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط رها
 
بهترین پاسخ

می دانیم که برای $z\neq 1$

$$1+z+z^2+\cdots +z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$$

چنانچه قرار دهیم $z=e^{ix}$ خواهیم داشت:

$$1+e^{ix}+e^{i2x}+\cdots+e^{inx}=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}$$

اما با توجه به $e^{ix}=\cos x+i\sin x$داریم:

$(1+\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx)+i(\sin x+\sin 2x+\cdots \sin nx)\\ =\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{(1-\cos (n+1)x)-i\sin(n+1)x}{(1-\cos x)-i\sin x}\times \frac{(1-\cos x)+i\sin x}{(1-\cos x)+i\sin x}\\ =\frac{(1-\cos(n+1)x)(1-\cos x)+\sin(n+1)x\sin x+i((1-\cos(n+1)x)\sin x-\sin(n+1)x(1-\cos x))}{(1-\cos x)^2+\sin ^2x}$

پس با توجه به قسمت موهومی و حقیقی داریم: $$\sum_0^n\cos jx=\frac{1-\cos(n+1)x-\cos x+\cos(n+1)x\cos x+\sin(n+1)x\sin x}{1-2\cos x+\cos^2x+\sin^2x}\\ =\frac{1-\cos(n+1)x-\cos x+\cos((n+1)x-x)}{2(1-\cos x)}\\ =\frac{(1-\cos x)+\cos (nx)-\cos(n+1)x}{2(1-\cos x)}\\ =\frac 12+\frac{-2\sin\frac{(2n+1)x}2\sin\frac{-x}2}{2\sin^2\frac{x}2}$$

و لذا

$$\sum_1^n\cos jx=-\frac 12+\frac{\sin\frac{(2n+1)x}2}{\sin\frac x2}\\ =\frac{-\sin\frac x2+\sin\frac{(2n+1)x}2}{2\sin\frac x2}=\frac{2\sin\frac {nx}2\cos\frac{(n+1)x}2}{2\sin\frac x2}$$
دارای دیدگاه توسط رها
ولی این که شما نوشتین برای $j$ از $0$ تا $n$ هستش
دارای دیدگاه توسط fardina
+3
بله ولی در آخر اون 1رو به سمت راست انتقال دادم. و اگه توجه کنید از یک شروع شده
دارای دیدگاه توسط رها
بله حق با شماست.سپاسگزارم
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

برای هر $j \in Z $ دلخواه داریم: $$2sin( \frac{x}{2} )cos(jx)=sin(j+ \frac{1}{2} )x-sin(j- \frac{1}{2} ) x $$ اگر از طرفین سیگما بگیریم طرف راست سری تلسکوپی خواهد بود لذا خواهیم داشت:

$$ \sum_{j=1}^n 2sin( \frac{x}{2} )cos(jx)=\sum_{j=1}^n sin(j+ \frac{1}{2} )x-sin(j- \frac{1}{2} ) x=$$ $$sin(n+ \frac{1}{2} )x-sin \frac{x}{2} $$

پس خواهیم داشت: $$ \sum_{j=1}^n cos(jx)= \frac{sin(n+ \frac{1}{2} )x-sin \frac{x}{2}}{2sin( \frac{x}{2} )} $$

اما از طرف دیگر $\frac{1}{2}( sin(n+ \frac{1}{2} )x-sin \frac{x}{2})=sin \frac{x}{2}.cos \frac{(n+1)x}{2} $

که با جایگذاری حکم نتیجه می شود.

دارای دیدگاه توسط رها
راه حل بسیار زیبایی هست جناب منوچهری ولی از اعداد مختلط استفاده نشده
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
ممنون
 در سوال اشاره ای نشده که از اعداد مختلط باید استفاده کنیم.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
63 نفر آنلاین
0 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2423
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673882
...