به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
308 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط maara
ویرایش شده توسط erfanm

نشان دهید $ \breve{H} _{p} $ توسط مونومیال های $ x_{i} y_{j} $ تولید میشود که $ p_{i} \leq p_{j} $

مرجع: فصل 9 هرزوگ هیبی
دارای دیدگاه توسط erfanm
با توجه به اینکه خلاصه ای از اثبات در کتاب آمده است لطفا دقیقا بفرمایید در کدام قسمت اثبات مشکل دارید.
دارای دیدگاه توسط maara
+1
دقیقا همون قسمتی که از فرضیات استفاده کرده و نتیجه گرفته نا وجه های مینیمال به شکل گفته شده در صورت سوالند.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

میدانیم که $F \subseteq V_{n} $ یک وجه از $ { \triangle _{P} }^{ \vee } $ است اگروتنها اگر یک ایده آل پوست مانند $ \alpha $ موجود باشد که $ F_{x} \bigcap \{ x_{i} : p_{i} \in \alpha \}= ‎\emptyset‎‎ $ و $ F_{y} \subseteq \{ x_{j} : p_{j} \in \alpha \} $

$\{ x_{i} , y_{j} \} $ را در نظر بگیرید و فرض کنید که $ p_{i} \leq p_{j} $ باشد اگر نشان دهیم که یکی از شرط های $ F_{x} \bigcap \{ x_{i} : p_{i} \in \alpha \}= ‎\emptyset‎‎ $ و $ F_{y} \subseteq \{ x_{j} : p_{j} \in \alpha \} $ نقض می شود یعنی امکان ندارد هر دو برقرار باشند آنگاه ناوجه بودن ثابت شده است و چون هر زیرمجموعه آن مجموعه تک عضوی (لذا یک وجه است) است پس مینیمال ناوجه نیز می شود.

فرض میکنیم هردو شرط برقرار است و به تناقض مسرسیم. اولا چون $\{ x_{i} , y_{j} \} $ را داریم پس $ F_{x} =\{x_{i} \}‎‎ $ و $ F_{y} =\{x_{j} \}‎‎ $ فرض کنید $ F_{x} \bigcap \{ x_{i} : p_{i} \in \alpha \}= ‎\emptyset‎‎ $ برقرار باشد لذا باید $ p_{i} \notin \alpha $ چون $ F_{x} =\{x_{i} \}‎‎ $

از طرف دیگر از اینکه باید $ F_{y} \subseteq \{ x_{j} : p_{j} \in \alpha \} $ باشد داریم که باید $p_{j} \in \alpha$

اما از تعریف ایده آل پوستی اگر $ p_{i} \leq p_{j} $ و $p_{j} \in \alpha$ باید داشته باشیم که $p_{i} \in \alpha$ و این تناقض است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...