به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
106 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط احسان
ویرایش شده توسط fardina

سلام

نشان دهید $\mathbb Q$ یک $G _\delta$ در $\mathbb R$ نیست.

با تشکر

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اولا توجه کنید که مجموعه اعداد گنگ $\mathbb Q^c$ ک مجموعه $G_\delta$ است زیرا $\mathbb Q= \lbrace q_1,q_2,\cdots\rbrace $ در اینصورت $\mathbb Q^c=(\bigcup_{k=1}^\infty \lbrace q_k\rbrace )^c=\bigcap _{k=1}^\infty\lbrace q_k\rbrace ^c$ و توجه کنید که همه ی $ \lbrace q_k\rbrace^c $ ها در $\mathbb R$ چگال هم هستند.

حال فرض کنید مجموعه اعداد گویا یک مجموعه $G_\delta$ باشد. یعنی $\mathbb Q=\bigcap_1^\infty G_k$ که $G_k$ ها مجموعه هایی باز هستند.

در اینصورت به ازای هر $ k $ داریم $\mathbb Q\subset G_k$ و لذا $G_k$ ها در $\mathbb R$ چگال هستند.

در اینصورت $\mathbb Q^c\bigcap \mathbb Q$ به صورت اشتراک شمارایی از مجموعه های باز چگال در $\mathbb R$ هستند که از قضیه کاتگوری بئر نتیجه می شود که باید چگال باشد. این درحالی است که $ \mathbb Q^c\bigcap \mathbb Q=\emptyset $ می دانیم که چگال نیست و به تناقض رسیدیم.

قضیه کاتگوری بئر: اگر $(X,\tau)$ یک فضای توپولوژیک کامل، هاسدورف و موضعا فشرده باشد و $ \lbrace G_k\rbrace $ گردایه ای شمارا از مجموعه های باز چگال در $X$ باشد در اینصورت $\bigcap G_k$ نیز در $X$ چگال است.

مرجع:https://en.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4_set

دارای دیدگاه توسط احسان
+1
بسیار سپاس از اینکه متعهدانه ارائه پاسخ کردید. کاری که از من براتون برات نمیاد جز اینکه به نیابت از شما دعای سلامتی امام زمان (عج) رو بخونم.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5429
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5017663
...