چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
89 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mehdi
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

حلقه $ Z_{6} $ را در نظر بگیرید.

الف)تمام ایده آل های اول $ Z_{6} $ را محاسبه کنید.

ب) آیا در $ Z_{6} $ هر ایده آل اول یک ایده آل ماکسیمال نیز هست؟

ج)تمام عناصر معکوس پذیر و تمام عناصر پوچتوان $ Z_{6} $ رابنویسید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

ابتدا در حالت کلی سوال را حل میکنیم. اولا هر ایده آل $ \mathbb{Z}_{n} $ به صورت $ (d)$ است که در آن $ d \mid n$

و به راحتی ثابت می شود که $ (d) $ ایده آلی ماکسیمال است اگروتنها اگر $d $ یک عدد اول باشد که $ d \mid n$

چون در حلقه های متناهی هر ایده آل اول ایده آلی ماکسیمال است لذا از متناهی بودن $ \mathbb{Z}_{n} $ جواب قسمت ب بله است.

اگر $ n= {p_{1}}^{ \alpha _{1} }...{p_{t}}^{ \alpha _{t} } $ آنگاه اگر $a \in Nil( \mathbb{Z}_{n}) $ باید یک $ m $ وجود داشته باشد که $ a^{m}=0 \Rightarrow n \mid a^{m} $ پس $p_{1}...p_{t} \mid a $

و از آنجاییکه $ a \in \mathbb{Z}_{n}$ لذا $a < n$ پس جواب تمام مضارب $p_{1}...p_{t}$ که کمتر از $n$ باشند است.

عناصر وارون پذیر $ \mathbb{Z}_{n} $ عناصری هستند که $gcd(a,n)=1$ باشد.

حل سوال شما:

الف)$(2)$ , $(3)$

ب) بله

ج) $Nil( \mathbb{Z}_{6}) =(0)$

و عناصر وارون پذیر آن عناصری هستند که نسبت به 6 اول باشند که فقط 5 راداریم و وارون آن خود 5 است

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1767
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704094
...