به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
345 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط farshchian2090
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

یکی از قضیه های جالب درباره گروه های دوری این قضیه است :

فرض کنید G یک گروه آبلی و متناهی باشد به طوری که برای هر عدد صحیح و مثبت n ، تعداد جواب های معادله $ x^n=e $ در G حداکثر n باشد. در این صورت G دوری است.

ممنون میشم اگر کسی اثباتی براش ارائه بده.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

باتوجه به اینکه گروه متناهی است پس مجموعه $ \{ n \mid \exists g \in G s.t \mid g \mid =n \} $ دارای عنصر ماکسیمالی مانند $ m $ است. فرض کنید $a \in G $ باشد که $ \mid a \mid =m $. حال زیر گروه دوری $ (a) $ را در نظر میگیریم. هر یک از اعضا به صورت $ a^{i} $ یک جواب معادله $ x^{m}=e $هستند پس $m $ جواب داریم و طبق فرض اینها تنها جوابها هستند.

نشان می دهیم $ G=(a) $ فرض کنید که $ b \in G $ عنصر دلخواهی باشد طبق نکته ای میدانیم که $ G $ دارای عنصری از مرتبه ی ک.م.م $ \mid b \mid $ و $ m $ یعنی $[m, \mid b \mid] $ است. اما طبق نحوه انتخاب $ m $ باید $[m, \mid b \mid] \leq m $ و لذا $\mid b \mid \mid m $ فرض کنید که $m=t\mid b \mid $ پس داریم: $$ b^{m}= {b^{\mid b \mid} }^{t} =e $$ یعنی $ b $ هم در معادله $ x^{m}=e $ صدق می کند اما تنها جوابها عناصری به صورت $ a^{i} $ بودند لذا $ b \in (a) $

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3472
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009124
...