به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
357 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

یکی از قضیه های جالب درباره گروه های دوری این قضیه است :

فرض کنید G یک گروه آبلی و متناهی باشد به طوری که برای هر عدد صحیح و مثبت n ، تعداد جواب های معادله $ x^n=e $ در G حداکثر n باشد. در این صورت G دوری است.

ممنون میشم اگر کسی اثباتی براش ارائه بده.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

باتوجه به اینکه گروه متناهی است پس مجموعه $ \{ n \mid \exists g \in G s.t \mid g \mid =n \} $ دارای عنصر ماکسیمالی مانند $ m $ است. فرض کنید $a \in G $ باشد که $ \mid a \mid =m $. حال زیر گروه دوری $ (a) $ را در نظر میگیریم. هر یک از اعضا به صورت $ a^{i} $ یک جواب معادله $ x^{m}=e $هستند پس $m $ جواب داریم و طبق فرض اینها تنها جوابها هستند.

نشان می دهیم $ G=(a) $ فرض کنید که $ b \in G $ عنصر دلخواهی باشد طبق نکته ای میدانیم که $ G $ دارای عنصری از مرتبه ی ک.م.م $ \mid b \mid $ و $ m $ یعنی $[m, \mid b \mid] $ است. اما طبق نحوه انتخاب $ m $ باید $[m, \mid b \mid] \leq m $ و لذا $\mid b \mid \mid m $ فرض کنید که $m=t\mid b \mid $ پس داریم: $$ b^{m}= {b^{\mid b \mid} }^{t} =e $$ یعنی $ b $ هم در معادله $ x^{m}=e $ صدق می کند اما تنها جوابها عناصری به صورت $ a^{i} $ بودند لذا $ b \in (a) $

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...