چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
335 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط farshchian2090
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

یکی از قضیه های جالب درباره گروه های دوری این قضیه است :

فرض کنید G یک گروه آبلی و متناهی باشد به طوری که برای هر عدد صحیح و مثبت n ، تعداد جواب های معادله $ x^n=e $ در G حداکثر n باشد. در این صورت G دوری است.

ممنون میشم اگر کسی اثباتی براش ارائه بده.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

باتوجه به اینکه گروه متناهی است پس مجموعه $ \{ n \mid \exists g \in G s.t \mid g \mid =n \} $ دارای عنصر ماکسیمالی مانند $ m $ است. فرض کنید $a \in G $ باشد که $ \mid a \mid =m $. حال زیر گروه دوری $ (a) $ را در نظر میگیریم. هر یک از اعضا به صورت $ a^{i} $ یک جواب معادله $ x^{m}=e $هستند پس $m $ جواب داریم و طبق فرض اینها تنها جوابها هستند.

نشان می دهیم $ G=(a) $ فرض کنید که $ b \in G $ عنصر دلخواهی باشد طبق نکته ای میدانیم که $ G $ دارای عنصری از مرتبه ی ک.م.م $ \mid b \mid $ و $ m $ یعنی $[m, \mid b \mid] $ است. اما طبق نحوه انتخاب $ m $ باید $[m, \mid b \mid] \leq m $ و لذا $\mid b \mid \mid m $ فرض کنید که $m=t\mid b \mid $ پس داریم: $$ b^{m}= {b^{\mid b \mid} }^{t} =e $$ یعنی $ b $ هم در معادله $ x^{m}=e $ صدق می کند اما تنها جوابها عناصری به صورت $ a^{i} $ بودند لذا $ b \in (a) $

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 746
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709888
...