به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
705 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط

اگر وسط هاي دو قاعده ذوزنقه را به هم وصل كنيم ثابت كنيد به دو چهار ضلعي هم مساحت تبديل ميشود واز نقطه برخورد دو قطر عبور ميكند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

برای قسمت اول کافیه دقت کنید وقتی این دونقطه را به هم وصل میکنید دو ذوزنقه هم ارتفاع بدست می آید که قاعده های بالایی و پایینی برابر دارند. لذا مساحت ها برابر هستند.

برای قسمت دوم فرض کنید نقطه وسط قاعده بالایی را به محل برخورد دو قطر وصل کرده و آن را امتداد می دهیم تا قاعده پایینی را در نقطه ای مانند $ N$ قطع کند:

enter image description here

اگر نشان بدهیم $ x=y $ آنگاه نتیجه می شود که $M $ وسط قاعده پایینی است و حکم ثابت می شود.

دو مثلث $ OAB $ و $ OCD $ متشابه هستند لذا $ \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} =k $

دو مثلث $ OAN $ و $ OCM $ متشابه هستند لذا $ \frac{AN}{x} = \frac{OA}{OC} =k \Rightarrow AN=kx$

دو مثلث $ ONB$ و $ OMD $ متشابه هستند لذا $ \frac{BN}{y} = \frac{OB}{OD} =k \Rightarrow BN=ky $

با مقایسه رابطه ها و توجه به اینکه $ AN=BN $ حکم ثابت می شود.

کل تشابه ها به حالت دو زاویه بود( زوایای متقابل به راس داشتیم)

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...