چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
71 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20

طول نقاط هاي بحراني تابع زير را بدست آوريد؟

$$f(x)=( x-a)^{n} ( x-b)^{m} $$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

فرض کنید که $m,n \geq 1 $ باشند آنگاه با مشتق گیری خواهیم داشت: $$ f'(x) =n( x-a)^{n-1}( x-b)^{m}+m( x-a)^{n}( x-b)^{m-1} $$

اگر $ n-1 \geq 1 $ آنگاه $f'(a) =0 $ لذا $ a $ یک نقطه بحرانی خواهد بود. در غیر اینصورت نقطه بحرانی نیست.

اگر $ m-1 \geq 1 $ آنگاه $f'(b) =0 $ لذا $ b $ یک نقطه بحرانی خواهد بود. در غیر اینصورت نقطه بحرانی نیست.

$$f'(x) =( x-a)^{n-1}( x-b)^{m-1}(n ( x-b)+m( x-a)) $$ فرض کنید $ x \neq a $ و $x \neq b $ باشد. پس برای اینکه مشتق صفر شود باید $n ( x-b)+m( x-a)=0 \Longrightarrow x= \frac{nb+ma}{m+n} $

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

من فرض میکنم که منظور شما این بوده که $a,b\in\mathbb R$ و $m,n\in\mathbb N$ .

چون این تابع $f(x)=(x-a)^m(x-b)^n$ همه جا مشتق پذیر است لذا نقاط بحرانی آن در نقاطی اتفاق می افتد که مشتق برابر صفر باشد.

$$f'(x)=m(x-a)^{m-1}(x-b)^n+n(x-a)^m(x-b)^{n-1}=0$$

در اینصورت با فاکتورگیری داریم: $$(x-a)^{m-1}(x-b)^{n-1}(m(x-b)+n(x-a))=0$$

در اینصورت نقاط بحرانی عبارت اند از: $$x=a, x=b, x=\frac{na+mb}{m+n}$$

فقط باید توجه کنید چنانچه $m=1$ در اینصورت $x=a$ نقطه بحرانی نخواهد بود. و به همین ترتیب اگر $n=1$ نقطه $x=b$ نقطه بحرانی نخواهد بود.

دارای دیدگاه توسط amirm20
+2
@erfanm
@fardina
ممنون بابت پاسخ فقط :
آيا  فقط براي توان هاي طبيعي قابل قبول هست!!
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@amirm20
بله اینی که نوشتم فقط برای توانهای طبیعی هست. چون سایر توانها نوع مشتق عوض می شود.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
66 نفر آنلاین
0 عضو و 66 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2430
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673889
...