چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
219 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط سعید
ویرایش شده توسط fardina

لطفا اثبات اندازه بودن اندازه شمارشی رو بنویسید. ممنون

مرجع: کتاب انالیز حقیقی و مختلط والتر رودین

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اندازه شمارشی به صورت $\mu(A)=|A|$ اگر $A$ متناهی باشد و $\mu(A)=\infty$ اگر $A$ نامتناهی باشد تعریف می شود.($|.|$ یعی کاردینال $A$)

واضح است که $\mu(\emptyset)=|\emptyset|=0 $ .

حال فرض کنید $\{A_i\}$ گرادیه ای از مجموعه های دو به دو مجزای اندازه پذیر باشد در اینصورت دو حالت داریم:

  1. حداقل یکی از $A_i$ ها نامتناهی باشد. در اینصورت $\bigcup A_i$ ها هم نامتناهی است لذا $\mu(\bigcup_iA_i)=\infty$ و چون یکی از $A_i$ ها نامتناهی است لذا اندازه آن بی نهایت است و لذا $\sum_i\mu(A_i)=\infty$ . یعنی $\mu(\bigcup_iA_i)=\sum_i\mu(A_i)$.
  2. همه $A_i$ ها متناهی باشند. که دو حالت پیش میاد:
    • $\bigcup_iA_i$ نامتناهی باشد: که در اینصورت چون $A_i$ ها مجزا هستند پس تعداد نامتناهی از $A_i$ ها غیر تهی هستند. لذا داریم $$ \sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)=\sum_{k=1}^\infty\mu(A_{n_k})\geq \sum_{k=1}^\infty1=\infty $$ که منظورم از $A_{n_k}$ آن جملاتی است که غیر تهی هستند. در اینصورت $$\mu(\bigcup_i\mu(A_i))=\sum_i\mu(A_i)=\infty$$
    • $\bigcup_iA_i$ متناهی باشد: در اینصورت از مجزا بودن $A_i$ ها نتیجه می شود که فقط تعداد متناهی از آنها غیرتهی هستند فرض کنیم $n$ تا از آنها غیر تهی هستند در اینصورت $$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\mu(A_{i_1}\cup\cdots \cup A_{i_n})=|A_{i_1}\cup\cdots \cup A_{i_n}|=|A_{i_1}|+\cdots+|A_{i_n}|=\sum_{j=1}^n\mu(A_{i_j})=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 354
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709496
...