به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
61 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط parham
ویرایش شده توسط parham

هرگاه مجموع $ n$عدد مثبت مقداري ثابت باشد يعني داشته باشيم :

$S= x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n} $

آنگاه حاصلضرب آنها يعني:

$P= x_{1}. x_{2} . x_{3} ..... x_{n} $

چه موقع ماگزيمم است؟

نتيجه1:

هرگاه $ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} +...+ a_{n} x_{n} =S$ و $a,x > 0$آنگاه

عبارت $( x_{1} . x_{2} .... x_{د} )$ وقتي $max $است كه $ a_{1} x_{1} = a_{2} x_{2} =...= a_{n} x_{n} $باشد

نتيجه 2:

هرگاه مجموع $n$عدد مثبت مقداري ثابت باشد $S= x_{1} + x_{2} +.. x_{n} $ آنگاه حاصل عبارت$x_{1} ^{ \beta }.x_{2} ^{ \alpha }...x_{n} ^{ \gamma }$ وقتي $max$ است كه :

$ \frac{ x_{1} }{ \beta } = \frac{ x_{2} }{ \alpha } =... \frac{ x_{n} }{ \gamma } = \frac{ x_{1} + x_{2} +.. x_{n} }{ \alpha + \beta +.. + \gamma } $
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
هرگاه $x_1x_2+...+x_n$ چی؟ و چرا اونجا همه اندیس ها برابر یک هستد؟
دارای دیدگاه توسط parham
+2
@fardina
ويرايش كردم
ببخشيد!!

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

راهنمایی:

اگر $x, y\geq 0$ دو عدد مثبت با مجموع ثابت باشند در اینصورت ماکسیمم آنها وقتی اتفاق می افتد که $x=y$ باشد. زیرا $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}2$ و زمانی مساوی رخ می دهد که این دو با هم برابر باشند.

البته با استفاده از مشتق هم میتونید به همین جواب برسید. چون $P(x)=xy=x(S-x)=-x^2+Sx$ و $0\leq x\leq S$ در اینصورت با مشتق گیری خواهید فهمید در $x=\frac S2$ ماکسیمم خواهیم داشت.

اما اگر $x=\frac S2$ چون $x+y=S$ پس باید $y=\frac S2$ یعنی $x=y$ .

دارای دیدگاه توسط parham
+1
@fardina
تشكر :
دو تانتيجه داره ميشه كه بالا نوشتم :
ميشه اونارو هم اثبات كنيد
خيلي ممنون!!
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@parham
متوجه نشدم!
دارای دیدگاه توسط parham
+1
@fardina
بالا به سوال اضافه كردم
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
اگر قرار بدید $y_1=a_1x_1,..., y_n=a_nx_n$ در اینصورت ماکسیمم $y_1...y_n$ وقتی مجموع آنها ثابت است وقتی اتفاق می افتد که $y_1=...=y_n$

در مورد بعدی هم من متوجه نشدم چی نوشتید. لطفا ویرایش کنید.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید مجموع ثابت و برابر $S$ باشد. برای اثبات رابطه می توانیم از قضیه میانگین کوشی استفاده کنیم که برای $ x_{1} ,..., x_{n} $ داریم: $$ \sqrt[n]{ x_{1} ... x_{n} } \leq \frac{ x_{1} +...+ x_{n} }{n} $$

و تساوی وقتی برقرار است که اعداد با هم برابر باشند.

پس وقتی خاصلضرب به ماکزیمم(کران بالای خود) میرسد که اعداد با هم برابر باشند. اگر اعداد با هم برابر باشند یعنی فرض $ x_{i}=a $ خواهیم داشت: $$ \sqrt[n]{ a^{n} } = \frac{S}{n} \Rightarrow a= \frac{S}{n}$$

برای نتیجه ی یک اولا اگر قرار دهیم $ x_{ i }^{'} = a_{i} x_{i} $ آنگاه

$ x_{ 1 }^{'}... x_{n }^{'} = a_{1} ... a_{n} x_{1} ... x_{n} =a x_{1} ... x_{n}$ پس $x_{1} ... x_{n}$ زمانی ماکزیمم است که $ x_{ 1 }^{'}... x_{n }^{'} $ ماکزیمم باشد. پس طبق قسمت اول باید $x_{ i }^{'}$ها با هم برابر باشند. و حکم نتیجه می شود.


اثبات قسمت آخر:

قرار می دهیم:$ t_{1} = \frac{ x_{1} }{ \alpha } $ و ... و $ t_{n} = \frac{ x_{n} }{ \gamma } $ لذا $$S= x_{1} +...+ x_{n}= \alpha t_{1} +...+. \gamma t_{n} = $$ $$ \underbrace{( t_{1}+...+ t_{1})}_{ \alpha } +...+ \underbrace{( t_{n}+...+ t_{n})}_{ \gamma } $$ حال طبق قسمت اول حاصلضرب این عناصر یعنی $ {x_{1}}^{ \alpha } ... {x_{n}}^{ \gamma } $ زمانی ماکزیمال است که $ t_{1}=...= t_{n} = \frac{S}{ \alpha +...+ \gamma } $

با جایگذاری $ t_{1} = \frac{ x_{1} }{ \alpha } $ و ... و $ t_{n} = \frac{ x_{n} }{ \gamma } $ حکم ثابت می شود.

دارای دیدگاه توسط erfanm
اثبات قسمت آخر هم اضافه شد.
اثبات را آقای حسینی از دبیران به نام ریاضی فرستادند.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
46 نفر آنلاین
0 عضو و 46 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 323
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5012558
...