چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
7,713 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط fo-eng
ویرایش شده توسط fardina

سلام. وقت بخیر عذر می خوام میشه یک ماتریس n*n رو مثال بزنید. سپس ترانهاده اون ماتریس رو نیز بنویسید؟


ویرایش:

لطفا ضرب ترانهاده این ماتریس رو برای بنده حل کنید:

enter image description here

دارای دیدگاه توسط fardina
"ضرب ترانهاده" یعنی چی؟
من پاسخمو ویرایش کردم امیدوارم منظورتونو درست متوجه شده باشم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

برای ترانهاده کافی است جای سطر و ستونها رو عوض کنید.

مثلا ماتریس دو در دوی $$A= \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ برای نوشتن ترانهاده آن سطر اول را در ستون اول می نویسیم و سطر دوم را در ستون دوم: $$A^t= \begin{bmatrix}a & c\\ b& d \end{bmatrix} $$

به عنوان مثالی دیگر ترانهاده ماتریس سه در سه $$B= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix} $$ برابر است با $$B^t= \begin{bmatrix}1 & 4&7 \\ 2 & 5&8\\ 3&6&9\end{bmatrix} $$ و به همین ترتیب برای ماتریس $n\times n$ می توان عمل کرد.

البته ترانهاده برای هر ماتریس $m\times n$ تعریف می شود و لزومی ندارد حتما ماتریس مربعی باشد.

تصویر از ویکی پدیا

و اگر در حالت کلی یک ماتریس $[a_{ij}]_{m\times n}$ داشته باشیم در اینصورت رانهاده آن برابر است با $[a_{ji}]_{n\times m}$

پس اگر خواسته شما را به صورت ماتریس $$ \begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}}&\color{red}{\cdots} &\color{red}{a_{1n}} \\ \color{blue}{a_{21}} & \color{blue}{a_{22}}&\color{blue}{\cdots }&\color{blue}{a_{2n}}\\ \vdots&\ddots&\cdots&\vdots\\ \color{green}{a_{n1}}&\color{green}{a_{n2}}&\color{green}{\cdots}&\color{green}{a_{nn}}\end{bmatrix} $$

در نظر بگیریم ترانهاده آن به صورت زیر خواهد بود:

$$ \begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{21}}&\cdots&\color{green}{a_{n1}} \\ \color{red}{a_{12}} & \color{blue}{a_{22}}&\cdots& \color{green}{a_{n2}}\\ \color{red}{\vdots}&\color{blue}{\ddots}&\cdots&\color{geen}{\vdots}\\ \color{red}{a_{1n}}&\color{blue}{a_{2n}}&\cdots&\color{green}{a_{nn}} \end{bmatrix} $$

ویرایش بعد از تغییر سوال:

اگر قرار دهیم $$A=\begin{bmatrix}1&3&4&-2\\ 6&2&-3&1\end{bmatrix}$$ و $$B= \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\\ -3&-2\\ 0&4\end{bmatrix} $$ در اینصورت ترانهاده $A\times B$ یعنی $(A\times B)^t$ را می یابیم.

برای این کار به دو طریق می توان عمل کرد:

  1. روش اول: ابتدا $A\times B$ را بیابیم سپس ترانهاده آ را بیابیم به اینصورت: $$A\times B= \tiny{\begin{bmatrix}(1\times 1)+(3\times 4)+(4\times(-3))+(-2\times 0)& (1\times (-2))+(3\times 3)+(4\times(-2))+(-2\times 4) \\ (6\times 1)+(2\times 4)+(-3\times (-3))+(1\times 0) & (6\times (-2)+(2\times 3)+(-3\times(-2))+(1\times 4) \end{bmatrix} } $$ $$= \begin{bmatrix}1 & -9 \\ 23 & 4 \end{bmatrix}$$ و لذا ترانهاده آن برابر است با: $$ (A\times B)^t=\begin{bmatrix}1 & 23 \\ -9 & 4 \end{bmatrix} $$

  2. روش دوم: با توجه به اینکه $(A\times B)^t=B^t\times A^t$ پس کافی است ابتدا ترانهاده ها را بیابیم سپس در هم ضرب کنیم. اما داریم: $$B^t= \begin{bmatrix}1 & 4&-3&0 \\ -2&3&-2&4 \end{bmatrix} $$ و $$A^t= \begin{bmatrix}1 & 6 \\ 3&2 \\ 4&-3\\ -2&1 \end{bmatrix} $$ و حاصلضرب آنها $$B^t\times A^t=\begin{bmatrix}1 & 23 \\ -9 & 4 \end{bmatrix} $$

دارای دیدگاه توسط fo-eng
+1
ببخشید من منظورمو بد گفتم. منظورم 2 ماتریسه.
ترانهاده کردن ضرب 2 ماتریس N* N منظورم هست.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@fo-eng
به طور کلی رابطه $(A\times B)^T=B^T\times A^T$
پس برای به دست آوردن ترانهاده $A\times A$ داریم:
$(A\times A)^T=A^T\times A^T$
دارای دیدگاه توسط fo-eng
+1
ببخشید میشه یک مثال بزنید؟
یعنی من باید هرد ماتریس رو ترانهاده کنم سپس ضربشون کنم درهم؟

آیا برای جمع 2ماتریس n*n هم همین روش رو باید انجام داد.؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
برای به دست آوردن ترانهاده $A\times A$ یتونید اول ترانهاده $A$ رو به دست بیارید سپس این ترانهاده رو در خودش ضرب کنید.
و یا میتونید اول $A\times A$ رو به دست بیارید بعد ترانهاده ش رو به دست بیارید.
دارای دیدگاه توسط fo-eng
ببخشید میشه مثل بالا با مثال بفرمایید.
ممنون
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
72 نفر آنلاین
0 عضو و 72 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3763
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712904
...