به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
8,113 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط fo-eng
ویرایش شده توسط fardina

سلام. وقت بخیر عذر می خوام میشه یک ماتریس n*n رو مثال بزنید. سپس ترانهاده اون ماتریس رو نیز بنویسید؟


ویرایش:

لطفا ضرب ترانهاده این ماتریس رو برای بنده حل کنید:

enter image description here

دارای دیدگاه توسط fardina
"ضرب ترانهاده" یعنی چی؟
من پاسخمو ویرایش کردم امیدوارم منظورتونو درست متوجه شده باشم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

برای ترانهاده کافی است جای سطر و ستونها رو عوض کنید.

مثلا ماتریس دو در دوی $$A= \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ برای نوشتن ترانهاده آن سطر اول را در ستون اول می نویسیم و سطر دوم را در ستون دوم: $$A^t= \begin{bmatrix}a & c\\ b& d \end{bmatrix} $$

به عنوان مثالی دیگر ترانهاده ماتریس سه در سه $$B= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix} $$ برابر است با $$B^t= \begin{bmatrix}1 & 4&7 \\ 2 & 5&8\\ 3&6&9\end{bmatrix} $$ و به همین ترتیب برای ماتریس $n\times n$ می توان عمل کرد.

البته ترانهاده برای هر ماتریس $m\times n$ تعریف می شود و لزومی ندارد حتما ماتریس مربعی باشد.

تصویر از ویکی پدیا

و اگر در حالت کلی یک ماتریس $[a_{ij}]_{m\times n}$ داشته باشیم در اینصورت رانهاده آن برابر است با $[a_{ji}]_{n\times m}$

پس اگر خواسته شما را به صورت ماتریس $$ \begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & \color{red}{a_{12}}&\color{red}{\cdots} &\color{red}{a_{1n}} \\ \color{blue}{a_{21}} & \color{blue}{a_{22}}&\color{blue}{\cdots }&\color{blue}{a_{2n}}\\ \vdots&\ddots&\cdots&\vdots\\ \color{green}{a_{n1}}&\color{green}{a_{n2}}&\color{green}{\cdots}&\color{green}{a_{nn}}\end{bmatrix} $$

در نظر بگیریم ترانهاده آن به صورت زیر خواهد بود:

$$ \begin{bmatrix}\color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{21}}&\cdots&\color{green}{a_{n1}} \\ \color{red}{a_{12}} & \color{blue}{a_{22}}&\cdots& \color{green}{a_{n2}}\\ \color{red}{\vdots}&\color{blue}{\ddots}&\cdots&\color{geen}{\vdots}\\ \color{red}{a_{1n}}&\color{blue}{a_{2n}}&\cdots&\color{green}{a_{nn}} \end{bmatrix} $$

ویرایش بعد از تغییر سوال:

اگر قرار دهیم $$A=\begin{bmatrix}1&3&4&-2\\ 6&2&-3&1\end{bmatrix}$$ و $$B= \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\\ -3&-2\\ 0&4\end{bmatrix} $$ در اینصورت ترانهاده $A\times B$ یعنی $(A\times B)^t$ را می یابیم.

برای این کار به دو طریق می توان عمل کرد:

  1. روش اول: ابتدا $A\times B$ را بیابیم سپس ترانهاده آ را بیابیم به اینصورت: $$A\times B= \tiny{\begin{bmatrix}(1\times 1)+(3\times 4)+(4\times(-3))+(-2\times 0)& (1\times (-2))+(3\times 3)+(4\times(-2))+(-2\times 4) \\ (6\times 1)+(2\times 4)+(-3\times (-3))+(1\times 0) & (6\times (-2)+(2\times 3)+(-3\times(-2))+(1\times 4) \end{bmatrix} } $$ $$= \begin{bmatrix}1 & -9 \\ 23 & 4 \end{bmatrix}$$ و لذا ترانهاده آن برابر است با: $$ (A\times B)^t=\begin{bmatrix}1 & 23 \\ -9 & 4 \end{bmatrix} $$

  2. روش دوم: با توجه به اینکه $(A\times B)^t=B^t\times A^t$ پس کافی است ابتدا ترانهاده ها را بیابیم سپس در هم ضرب کنیم. اما داریم: $$B^t= \begin{bmatrix}1 & 4&-3&0 \\ -2&3&-2&4 \end{bmatrix} $$ و $$A^t= \begin{bmatrix}1 & 6 \\ 3&2 \\ 4&-3\\ -2&1 \end{bmatrix} $$ و حاصلضرب آنها $$B^t\times A^t=\begin{bmatrix}1 & 23 \\ -9 & 4 \end{bmatrix} $$

دارای دیدگاه توسط fo-eng
+1
ببخشید من منظورمو بد گفتم. منظورم 2 ماتریسه.
ترانهاده کردن ضرب 2 ماتریس N* N منظورم هست.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@fo-eng
به طور کلی رابطه $(A\times B)^T=B^T\times A^T$
پس برای به دست آوردن ترانهاده $A\times A$ داریم:
$(A\times A)^T=A^T\times A^T$
دارای دیدگاه توسط fo-eng
+1
ببخشید میشه یک مثال بزنید؟
یعنی من باید هرد ماتریس رو ترانهاده کنم سپس ضربشون کنم درهم؟

آیا برای جمع 2ماتریس n*n هم همین روش رو باید انجام داد.؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
برای به دست آوردن ترانهاده $A\times A$ یتونید اول ترانهاده $A$ رو به دست بیارید سپس این ترانهاده رو در خودش ضرب کنید.
و یا میتونید اول $A\times A$ رو به دست بیارید بعد ترانهاده ش رو به دست بیارید.
دارای دیدگاه توسط fo-eng
ببخشید میشه مثل بالا با مثال بفرمایید.
ممنون
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2213
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007865
...