چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
136 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط af
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $I$ ایدال سره حلقه تعویضپذیر $R$ باشد و $Q$ نشان دهنده مجموعه همه زیر مجموعه های ضربی بسته $R$ باشدکه از$I$ مجزایند.نشان دهید $Q$نسبت به رابطه مشمولیت دست کم یک عضو ماکسیمال دارد و $S$ یک عضوماکسیمال $Q$ است اگروتنهااگر $R \setminus S$ یک ایدال اول مینیمال شامل $I$ باشد.

دارای دیدگاه توسط erfanm
سلام لطفا سوال را ویرایش نماید.
سوالواضح نیست

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

ابتدا نشان می دهیم که $ Q \neq \emptyset $ است برای این کار کافیست توجه کنیم که طبق قضیه در جبر پیشرفته(فصل اول به کمک لم زرن اثبات می شود.)$I $ مشمول در یک ایده آل ماکزیمال مانند $ m$ است. از آنجایی که حلقه تعویض پذیر و دارای $1$ است لذا این ایده آل یک ایده آل اول است پس $R \setminus m $ یک مجموعه بسته ضربی است که با $I $ اشتراک ندارد. پس $ Q \neq \emptyset $.

حال به سادگی از لم زرن می توان نتیجه گرفت(؟) که این مجموعه دارای عنصر ماکزیمال است.

اثبات قسمت دوم سوال:

فرض کنید $ S $ عنصر ماکزیمال $ Q$ باشد. طبق قضیه می دانیم که $ R \setminus S $ یک ایده آل اول است و از آنجایی که طبق فرض $ I \bigcap S= \emptyset $ پس $ I \subseteq R \setminus S $ حال فرض کنید که این ایده آل اول مینیمال نباشد پس $ p' $ موجود است که $ I \subseteq p' ‎\subsetneq R \setminus S$ پس $ R \setminus (R \setminus S)=S \subsetneq R \setminus p' $ و به وضوح $ R \setminus p'\in Q $ و این تناقض است.

حال فرض کنید که $R \setminus S $ ایده آل اول مینیمال $I$ باشد. فرض کنید $ S' $ عضو ماکزیمال $ Q$ باشد. لذا طبق قسمت قبل $ R \setminus S' $ ایده آل اول مینیمال $I$ است و لذا $R \setminus S=R \setminus S' $ پس $ S = S'$ ولذا عضو ماکزیمال است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3246
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712387
...