به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
136 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط af
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $I$ ایدال سره حلقه تعویضپذیر $R$ باشد و $Q$ نشان دهنده مجموعه همه زیر مجموعه های ضربی بسته $R$ باشدکه از$I$ مجزایند.نشان دهید $Q$نسبت به رابطه مشمولیت دست کم یک عضو ماکسیمال دارد و $S$ یک عضوماکسیمال $Q$ است اگروتنهااگر $R \setminus S$ یک ایدال اول مینیمال شامل $I$ باشد.

دارای دیدگاه توسط erfanm
سلام لطفا سوال را ویرایش نماید.
سوالواضح نیست

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

ابتدا نشان می دهیم که $ Q \neq \emptyset $ است برای این کار کافیست توجه کنیم که طبق قضیه در جبر پیشرفته(فصل اول به کمک لم زرن اثبات می شود.)$I $ مشمول در یک ایده آل ماکزیمال مانند $ m$ است. از آنجایی که حلقه تعویض پذیر و دارای $1$ است لذا این ایده آل یک ایده آل اول است پس $R \setminus m $ یک مجموعه بسته ضربی است که با $I $ اشتراک ندارد. پس $ Q \neq \emptyset $.

حال به سادگی از لم زرن می توان نتیجه گرفت(؟) که این مجموعه دارای عنصر ماکزیمال است.

اثبات قسمت دوم سوال:

فرض کنید $ S $ عنصر ماکزیمال $ Q$ باشد. طبق قضیه می دانیم که $ R \setminus S $ یک ایده آل اول است و از آنجایی که طبق فرض $ I \bigcap S= \emptyset $ پس $ I \subseteq R \setminus S $ حال فرض کنید که این ایده آل اول مینیمال نباشد پس $ p' $ موجود است که $ I \subseteq p' ‎\subsetneq R \setminus S$ پس $ R \setminus (R \setminus S)=S \subsetneq R \setminus p' $ و به وضوح $ R \setminus p'\in Q $ و این تناقض است.

حال فرض کنید که $R \setminus S $ ایده آل اول مینیمال $I$ باشد. فرض کنید $ S' $ عضو ماکزیمال $ Q$ باشد. لذا طبق قسمت قبل $ R \setminus S' $ ایده آل اول مینیمال $I$ است و لذا $R \setminus S=R \setminus S' $ پس $ S = S'$ ولذا عضو ماکزیمال است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
44 نفر آنلاین
0 عضو و 44 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2133
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007785
...