چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
116 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط farshchian2090
ویرایش شده توسط erfanm

ثابت کنید که به ازای $n \geq 5$ داریم : $ S_n'=A_n $ که در آن $S_n$ گروه متقارن روی n حرف و $A_n$ جایگشت های زوج $S_n$ میباشد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

کافیست ثابت کنیم برای $n \geq 5 $ زیرگروه $ A_{n} $ تنها زیرگروه نرمال $ S_{n} $ است و از آنجایی که $ S_{n}' $ یک زیرگروه نرمال است حکم نتیجه می شود.

فرض کنید $H $ یک زیر گروه نرمال و غیر بدیهی $ S_{n} $ باشد. اگر $ H \bigcap A_{n} \neq ((1)) $ آنگاه از آنجایی که $ H \bigcap A_{n} $ یک زیرگروه نرمال $ A_{n} $ است ولی $ A_{n} $ ساده است. پس $ A_{n} =H \bigcap A_{n} $ لذا $ A_{n} \subseteq H$ اما $$2=[S_{n}:A_{n}]=[S_{n}:H][H:A_{n}] $$ چون $ S_{n} \neq H $ پس $ [S_{n}:H]=2 $ یعنی $ [H:A_{n}] =1 $ پس $ H = A_{n} $

حال فرض کنید $ H \bigcap A_{n} = ((1)) $ لذا $$n!= \mid S_{n} \mid \geq \mid HS_{n} \mid = \frac{\mid H \mid \mid S_{n} \mid }{ \mid H \bigcap S_{n} \mid} = \mid H \mid \frac{n!}{2} $$

پس $\mid H \mid \leq 2$ وچون $ H \neq ((1))$ پس $\mid H \mid =2$. فرض کنید $ H=\{ (1), \alpha \} $ پس $ \mid \alpha \mid =2 $لذا $ \alpha $حاصلضربی از ترانهش های جدا از هم است. فرض کنید $(a,b) $ یکی از ترانهش ها باشد. آنگاه $(a,b,c) \alpha (a,b,c) ^{-1} $ عنصر $ b $ را به $ c $ میبرد لذا این عنصر در $ H $ نیست و این با نرمال بودن $ H$ در تناقض است.

اثبات برگرفته از کتاب مروری بر جبر مجرد از دکتر محمد نادر قصیری

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3303
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712444
...