چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
253 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط yosef.sobhi
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ A\subset X $ و $\mu^\star(A)=0 $ آنگاه $ A $ یک مجموعه $ \mu^\star $ -اندازه پذیر است. در نتیجه فضای اندازه تولیدشده توسط یک اندازه خارجی کامل است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط jafar
 
بهترین پاسخ

اثبات $ \mu^\star $-اندازه پذیری: برای هر $ E\subset X $ داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \mu^\star(E)&\leq \mu^\star(E\cap A)+\mu^\star(E\cap A^c)\\ &\leq \cancelto{0}{\mu^\star(A)}+\mu^\star(E\cap A^c)\\ &\leq \mu^\star (E) \end{align}$$ لذا $ A $ یک مجموعه $ \mu^\star $ -اندازه پذیر است.

اثبات کامل بودن: فرض کنید $ A\in\mathcal M $ (که $\mathcal M $ سیگماجبر تولید شده توسط $ \mu^\star $ یعنی مجموعه تمام مجموعه های $\mu^\star $-اندازه پذیر است) باشد. و $ B\subset A $ . در اینصورت : $ \mu^\star(B)\leq \mu^\star (A)=0 $ لذا $\mu^\star(B)=0 $ . و بنابر آنچه که در بالا ذکر شد: $B\in\mathcal M $ . یعنی کامل است.

دارای دیدگاه توسط yosef.sobhi
+2

باسلام واقعاٌ جوابتان عالی بود. ببخشید بنده هم میتونم به سئوالات دبیرستانی پاسخ دهیم.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
84 نفر آنلاین
1 عضو و 83 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3664
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698704
...