به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
75 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط ز.محمدی

ثابت کنید اگر $M $ یک $ \mathbb{Z} $ مدول آزاد باشد آنگاه هر زیر مدول آن نیز آزاد است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

قضیهٔ ۹.۸ در کتاب Advanced Modern Algebra از Joseph Rotman را نگاه کنید. در آنجا ثابت می‌کند که اگر حلقهٔ اسکالرهای مدول آزادتان یک دامنهٔ ایده‌آل‌های اصلی باشد، آنگاه هر زیرمدول آن نیز مدولی آزاد می‌شود. در پرسش شما نیز $\mathbb{Z}$ یک دامنهٔ ایده‌آل‌های اصلی است. اثبات آمده‌شده‌ در آنجا ابتدایی است، اما برای ساده‌تر شدن کار شما چون با اعداد صحیح کار می‌کنید و می‌دانید که مجموعهٔ اعداد صحیح (و در نتیجه هر زیرمجموعه‌ای از آن) با رابطهٔ کوچکتری معمولی اعداد یک مجموعهٔ مرتب‌کامل است پس نیازی نیست از لمی که گفته‌است استفاده کنید و ترتیبی را که برمی‌دارد همان ترتیب کوچکتری معمولی اعداد بردارید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
61 نفر آنلاین
2 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4107
بازدید دیروز: 5083
بازدید کل: 4842300
...