چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
214 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط یه دوست

عبارتهای $ \sqrt[ 7]{ 7} $ و $ \sqrt[ 5]{ 5} $ و $ \sqrt[3 ]{ 3} $ و $ \sqrt[ 2]{ 2} $ را از کوچک به بزرگ مرتب کنید؟ به طور کلی می توان بین $ \sqrt[ a]{ a} $ و $ \sqrt[ a+1]{a+1 } $ علامت کوچکتر یا بزرگتر قرار داد؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

اگر $ 1 \leq a < b $ آنگاه به ازای $n \in \mathbb{N} $ داریم $ a^{n} < b^{n} $

پس اگر ک.م.م فرجه ها را بدست آوریم و طرفین را به توان برسانیم اعداد صحیحی بدست می آیند کافیه آنها را مقایسه کنیم:

در این سوال ابتدا 2 عدد اول را مقایسه میکنیم(اگر هر 4 عدد را درنظر بگیریم ک.م.م خیلی بزرگ بدست می آید) ک.م.م فرجه ها یعنی $ 2,3$ برابر است با $ 6 $

$$ \sqrt{2} ^{6}= 2^{3}=8 $$ $$ \sqrt[3]{3}^{6}=3^{2} =9 $$ پس $ \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} $

برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[3]{3} $ داریم ک.م.م برابر $15$ است لذا $$ \sqrt[3]{3}^{15}=3^{5} =243 $$ $$ \sqrt[5]{5}^{15}=5^{3} =125 $$ پس $\sqrt[5]{5} < \sqrt[3]{3} $ برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[2]{2} $ داریم ک.م.م برابر $10$ است لذا $$ \sqrt[2]{2}^{10}=2^{5} =32 $$ $$ \sqrt[5]{5}^{10}=5^{2} =25 $$ پس $\sqrt[5]{5} < \sqrt[2]{2} $

برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[7]{7} $ داریم ک.م.م برابر $35$ است لذا $$ \sqrt[7]{7}^{35}=7^{5} =16807 $$ $$ \sqrt[5]{5}^{35}=5^{7} =78125 $$ پس $\sqrt[7]{7} < \sqrt[5]{5} $

پس در کل داریم: $$\sqrt[7]{7} < \sqrt[5]{5} < \sqrt[2]{2} < \sqrt[3]{3} $$

اما در حالت کلی برای مقایسه $ \sqrt[a]{a} $ و $ \sqrt[a+1]{a+1} $ طرفین را به توان $a(a+1)$ می رسانیم داریم:

$$ \sqrt[a]{a}^{a(a+1)}=a^{a+1}= \underbrace{ a^{a} +...+ a^{a}}_{a تا} $$ $$ \sqrt[a+1]{a+1} ^{a(a+1)}=(a+1)^{a}= \sum_{k=0}^a {a\choose{k}}a^{a-k} $$

پس باید $ {a\choose{k}}a^{a-k} $ را با $a^{a}$ مقایسه کنیم که برای $a>2$ داریم $ {a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a} $ (چرا؟) پس

$$ \sum_{k=0}^a {a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a+1} \Rightarrow \sqrt[a+1]{a+1} < \sqrt[a]{a}$$
دارای دیدگاه توسط yedost
ویرایش شده توسط fardina
+2
ممنون از پاسختون.
فقط عبارت ${a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a}$ برای $k=0,1$ برقرار نیست.
دارای دیدگاه توسط erfanm
حق با شماست برای این دو تساوی برقرار است ولی برای بقیه برقرار است. چون $a$ از 2 بزرگتر است لذا حداقل یک $k$ وجود دارد که کوچکتری برقرار است.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3296
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712437
...