به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
353 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

عبارتهای $ \sqrt[ 7]{ 7} $ و $ \sqrt[ 5]{ 5} $ و $ \sqrt[3 ]{ 3} $ و $ \sqrt[ 2]{ 2} $ را از کوچک به بزرگ مرتب کنید؟ به طور کلی می توان بین $ \sqrt[ a]{ a} $ و $ \sqrt[ a+1]{a+1 } $ علامت کوچکتر یا بزرگتر قرار داد؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

اگر $ 1 \leq a < b $ آنگاه به ازای $n \in \mathbb{N} $ داریم $ a^{n} < b^{n} $

پس اگر ک.م.م فرجه ها را بدست آوریم و طرفین را به توان برسانیم اعداد صحیحی بدست می آیند کافیه آنها را مقایسه کنیم:

در این سوال ابتدا 2 عدد اول را مقایسه میکنیم(اگر هر 4 عدد را درنظر بگیریم ک.م.م خیلی بزرگ بدست می آید) ک.م.م فرجه ها یعنی $ 2,3$ برابر است با $ 6 $

$$ \sqrt{2} ^{6}= 2^{3}=8 $$ $$ \sqrt[3]{3}^{6}=3^{2} =9 $$ پس $ \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} $

برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[3]{3} $ داریم ک.م.م برابر $15$ است لذا $$ \sqrt[3]{3}^{15}=3^{5} =243 $$ $$ \sqrt[5]{5}^{15}=5^{3} =125 $$ پس $\sqrt[5]{5} < \sqrt[3]{3} $ برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[2]{2} $ داریم ک.م.م برابر $10$ است لذا $$ \sqrt[2]{2}^{10}=2^{5} =32 $$ $$ \sqrt[5]{5}^{10}=5^{2} =25 $$ پس $\sqrt[5]{5} < \sqrt[2]{2} $

برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[7]{7} $ داریم ک.م.م برابر $35$ است لذا $$ \sqrt[7]{7}^{35}=7^{5} =16807 $$ $$ \sqrt[5]{5}^{35}=5^{7} =78125 $$ پس $\sqrt[7]{7} < \sqrt[5]{5} $

پس در کل داریم: $$\sqrt[7]{7} < \sqrt[5]{5} < \sqrt[2]{2} < \sqrt[3]{3} $$

اما در حالت کلی برای مقایسه $ \sqrt[a]{a} $ و $ \sqrt[a+1]{a+1} $ طرفین را به توان $a(a+1)$ می رسانیم داریم:

$$ \sqrt[a]{a}^{a(a+1)}=a^{a+1}= \underbrace{ a^{a} +...+ a^{a}}_{a تا} $$ $$ \sqrt[a+1]{a+1} ^{a(a+1)}=(a+1)^{a}= \sum_{k=0}^a {a\choose{k}}a^{a-k} $$

پس باید $ {a\choose{k}}a^{a-k} $ را با $a^{a}$ مقایسه کنیم که برای $a>2$ داریم $ {a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a} $ (چرا؟) پس

$$ \sum_{k=0}^a {a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a+1} \Rightarrow \sqrt[a+1]{a+1} < \sqrt[a]{a}$$
دارای دیدگاه توسط yedost
ویرایش شده توسط fardina
+2
ممنون از پاسختون.
فقط عبارت ${a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a}$ برای $k=0,1$ برقرار نیست.
دارای دیدگاه توسط erfanm
حق با شماست برای این دو تساوی برقرار است ولی برای بقیه برقرار است. چون $a$ از 2 بزرگتر است لذا حداقل یک $k$ وجود دارد که کوچکتری برقرار است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...