به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
120 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط math
ویرایش شده توسط fardina

در بسط $( ( \sqrt{x}) ^{ \frac{1}{1+\log x} }+ (\sqrt[12]{x}) )^{6} $ مقدار $x$ را چنان بیابید که جمله ی چهارم این بسط 200 باشد.

دبیرستان علامه حلی تهران

دارای دیدگاه توسط math
+1
دوستان گرامی ، قسمت بالا لگاریتم ایکس در مبنای 10 هستش.
دارای دیدگاه توسط erfanm
وقتی مبنا نوشته نشده نتیجه میشه مبنا 10 است.
دارای دیدگاه توسط math
+1
بله ملتفت ام .. گفتم شاید واضح نباشه
ممنون
دارای دیدگاه توسط erfanm
اها
ممنون حق باشماست
ممنون

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

در بسط دوچمله ای داریم $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$$

پس جمله چهارم به ازای $k=3$ به دست می آید. پس جمله چارم بسطی که نوشتید به صورت $ \binom{6}{3}(\sqrt x)^{\frac 1{1+\log x}})^3(\sqrt[12] x)^3 $ خواهد بود که فرض مساله از ما میخواد برابر $200$ بذاریم. با ساده کردن جمله چارم و برابر قرار دادن با دویست داریم

$$20x^{\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14}=200$$ یعنی $ x^{\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14}=10$ با گرفتن لگاریتم از طرفین داریم $\big(\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14\big)\log x=1$ با مخرج مشترک گیری و طرفین وسطین به معادله $$(\log x)^2+3\log x-4=0$$ می رسیم.

که این هم یک معادله درجه دوم ساده است $(\log x-1)(\log x+4)=0$ لذا $\log x=-4$ که در اینصورت $x=10^{-4}$ یا $\log x=1$ که در اینصورت $x=10$ .

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

جمله ی $k $ ام بسط $(a+b)^{n} $ برابر است با $ {n\choose{k-1}} a^{k-1} b^{n-k+1} $ پس در اینجا جمله چهارم برابر است با: $$ {6\choose{3}} ( ( \sqrt{x}) ^{ \frac{1}{1+log x} })^{3} (\sqrt[12]{x})^{3}=20 ( ( x^{ \frac{1}{2} }) ^{ \frac{1}{1+log x} })^{3} (x^{ \frac{1}{12} })^{3} =$$ $$20x^{ \frac{3}{2(1+log x)} }x^{ \frac{3}{12} }=20x^{ \frac{3}{2(1+log x)}+ \frac{1}{4} }$$ و با برابر قرار دادن آن با $200$ داریم:$ x^{ \frac{3}{2(1+log x)}+ \frac{1}{4} }=10 $

اگر جواب صحیح مد نظر باشد یکی از گزینه های احتمالی $x=10$ است که درست هم است اما جواب کلی چنین معادله ای به صورت $x= 10^{k} $ و درنتیجه باید توان برابر $ \frac{1}{k} $ باشد و با جایگذاری مقدارهای مناسب برای $k$ را می یابیم.

$$ \frac{1}{k}= \frac{3}{2(1+log 10^{k})}+ \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{k}= \frac{3}{2(1+k)}+ \frac{1}{4}$$ $$ \frac{ k^{2}+3k-4 }{4k(k+1)} =0 \Rightarrow k^{2}+3k-4=0$$ جوابهای آن $k=1 $ و$k=-4$ می باشد که هر دو مورد قبول هستند.

دارای دیدگاه توسط math
+1
دوستان دستتون درد نکنه لطف کردین
دارای دیدگاه توسط erfanm
خواهش میکنم موفق باشید
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
66 نفر آنلاین
2 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3874
بازدید دیروز: 5659
بازدید کل: 5021766
...