چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
120 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط math
ویرایش شده توسط fardina

در بسط $( ( \sqrt{x}) ^{ \frac{1}{1+\log x} }+ (\sqrt[12]{x}) )^{6} $ مقدار $x$ را چنان بیابید که جمله ی چهارم این بسط 200 باشد.

دبیرستان علامه حلی تهران

دارای دیدگاه توسط math
+1
دوستان گرامی ، قسمت بالا لگاریتم ایکس در مبنای 10 هستش.
دارای دیدگاه توسط erfanm
وقتی مبنا نوشته نشده نتیجه میشه مبنا 10 است.
دارای دیدگاه توسط math
+1
بله ملتفت ام .. گفتم شاید واضح نباشه
ممنون
دارای دیدگاه توسط erfanm
اها
ممنون حق باشماست
ممنون

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

در بسط دوچمله ای داریم $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$$

پس جمله چهارم به ازای $k=3$ به دست می آید. پس جمله چارم بسطی که نوشتید به صورت $ \binom{6}{3}(\sqrt x)^{\frac 1{1+\log x}})^3(\sqrt[12] x)^3 $ خواهد بود که فرض مساله از ما میخواد برابر $200$ بذاریم. با ساده کردن جمله چارم و برابر قرار دادن با دویست داریم

$$20x^{\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14}=200$$ یعنی $ x^{\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14}=10$ با گرفتن لگاریتم از طرفین داریم $\big(\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14\big)\log x=1$ با مخرج مشترک گیری و طرفین وسطین به معادله $$(\log x)^2+3\log x-4=0$$ می رسیم.

که این هم یک معادله درجه دوم ساده است $(\log x-1)(\log x+4)=0$ لذا $\log x=-4$ که در اینصورت $x=10^{-4}$ یا $\log x=1$ که در اینصورت $x=10$ .

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

جمله ی $k $ ام بسط $(a+b)^{n} $ برابر است با $ {n\choose{k-1}} a^{k-1} b^{n-k+1} $ پس در اینجا جمله چهارم برابر است با: $$ {6\choose{3}} ( ( \sqrt{x}) ^{ \frac{1}{1+log x} })^{3} (\sqrt[12]{x})^{3}=20 ( ( x^{ \frac{1}{2} }) ^{ \frac{1}{1+log x} })^{3} (x^{ \frac{1}{12} })^{3} =$$ $$20x^{ \frac{3}{2(1+log x)} }x^{ \frac{3}{12} }=20x^{ \frac{3}{2(1+log x)}+ \frac{1}{4} }$$ و با برابر قرار دادن آن با $200$ داریم:$ x^{ \frac{3}{2(1+log x)}+ \frac{1}{4} }=10 $

اگر جواب صحیح مد نظر باشد یکی از گزینه های احتمالی $x=10$ است که درست هم است اما جواب کلی چنین معادله ای به صورت $x= 10^{k} $ و درنتیجه باید توان برابر $ \frac{1}{k} $ باشد و با جایگذاری مقدارهای مناسب برای $k$ را می یابیم.

$$ \frac{1}{k}= \frac{3}{2(1+log 10^{k})}+ \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{k}= \frac{3}{2(1+k)}+ \frac{1}{4}$$ $$ \frac{ k^{2}+3k-4 }{4k(k+1)} =0 \Rightarrow k^{2}+3k-4=0$$ جوابهای آن $k=1 $ و$k=-4$ می باشد که هر دو مورد قبول هستند.

دارای دیدگاه توسط math
+1
دوستان دستتون درد نکنه لطف کردین
دارای دیدگاه توسط erfanm
خواهش میکنم موفق باشید
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
63 نفر آنلاین
0 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2434
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673893
...