چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
66 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط ms78
ویرایش شده توسط fardina

در مثلث ABC نقاط M و N به ترتیب روی اضلاع AC و AB قرار دارند و O نقطه ی برخورد BM و CN است.با فرض اینکه مساحت مثلث های AMN و MOC و NOB به ترتیب 5 و 3 و 8 باشد ، مساحت مثلث های MON و BOC را محاسبه کنید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

enter image description here

بنابر شکل $NH$ ارتفاع مثلث های $BON$و $MON$ است لذا $\frac{S_{BON}}{S_{OMN}}=\frac{BO}{OM}$ از طرفی $CH'$ ارفاع مثلث های $BOC$و $COM$ است لذا $\frac{S_{BOC}}{S_{COM}}=\frac{BO}{OM}$

بنابراین از دو تساوی بالا داریم $$\frac{S_{BON}}{S_{OMN}}=\frac{S_{BOC}}{S_{COM}}\tag{*}\label{*}$$

بنابر فرضیات مساله $\frac{8}{S_{OMN}}=\frac{S_{BOC}}{3}$ یعنی $S_{OMN}\times S_{BOC}=24$

اما ارتفاع های مثلث های $ANM$و $BNM$ برابر هستند( ارتفاعی که از راس $M$ بر $AN$ وارد می شود.) بنابراین $\frac{S_{ANM}}{S_{BNM}}=\frac{AN}{BN}$

و همینطور ارتفاع مثلث های $ANC$ و $BNC$ یکی است(ارتفاعی که از $C$ بر $AB$ وارد می شود) بنابراین $\frac{S_{ANC}}{S_{BNC}}=\frac{AN}{BN}$ و این یعنی $$\frac{S_{ANM}}{S_{BNM}}=\frac{S_{ANC}}{S_{BNC}}\tag{**}$$ و یا بطور معادل $\frac{5}{8+S_{OMN}}=\frac{3+S_{OMN}+5}{8+S_{OBC}}$

با استفاده از $\eqref{*}$ و چاگذاری در تساوی بالا و طرفین وسطین و حل معادله باید به جواب برسید.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3644
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687452
...