به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
207 بازدید
در دبیرستان توسط zh
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

میگوییم تابع حقیقی $ f $ تابع $ g$ را تولید میکند(با نماد $ f \rightarrow g $ نمایش میدهیم) اگر $g $ از ترکیب چند باره $ f $ با خودش بدست آید؛ یعنی عدد طبیعی $k $ موجود باشد به طوریکه

$$\underbrace{fof...f} =g $$

به دنبال یافتن خواصی برای این رابطه هستیم. مثلا براحتی میتوان ثابت کرد این که اگر $ f \rightarrow g $ و $ g \rightarrow h$
آنگاه $ f \rightarrow h$.

الف) دو تابع حقیقی $ f \neq g$ مثال بزنید که $ f \rightarrow g $ , $g \rightarrow f $

ب)آیا تابع $ g $ وجود دارد که هیچ تابعی جز خودش آنرا تولید نکند؟

ج) ثابت کنید به ازای هر تابع حقیقی $ f $ ، تعداد متناهی تابع $ g $ وجود دارد که
$ g \rightarrow f $ و $ f \rightarrow g$

د)آیا تابع $ f $ وجود دارد که $ x^{3} , x^{5} $ را تولید کنند؟

ه)ثابت کنید اگر تابعی دو چند جمله ای درجه یک $ P,Q$ را تولید کند، آنگاه یک چند جمله ای درجه یک نیز $ P,Q$ را تولید میکند.

توسط admin
+1
سوال از کجاس؟ میشه لطفا مرجع بدید؟
توسط erfanm
+1
درسته سخت بود ولی کاشکی تایپش می کردید و سوالات رو جدا مینوشتید حداقل هر دوتا رو تو یک سوال می آوردید.
توسط admin
+1
دقیقا با erfanm موافقم. اگه تایپ بشه خیلی بهتره.
توسط zh
+1
راستش سوالو یکی از همکارام بهم داده. نمیدونم ایشون از کجا آوردن.  چون پاسخ مربوط به مسئله المپیاد رو مینوشتم حوصله ام نشد بنویسم ولی سعی میکنم حتما تایپش کنم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

جواب الف) تابع $ f$ را اینطوری تعریف میکنیم برای تمام نقاط غیر از$1$،$2$و$3$ تابع ثابت صفر و $ f(2)=3 $ ، $f(1)=2 $ و $f(3)=1 $ آنگاه $ f $ و $g= fof $ جواب مساله هستند. یعنی

$$ f(x )=\begin{cases}2 & x = 1\\3 & x = 2\\1 & x= 3\\0 & O.W\end{cases} $$ $$ g(x)=fof(x)=\begin{cases}3 & x = 1\\1 & x = 2\\2 & x= 3\\0 & O.W\end{cases} $$ لذا طبق تعریف تابع $ f$ تابع $ g$ رو تولید میکند. یا $ f \rightarrow g $ حال داریم $$ f(x )=gog(x)=\begin{cases}2 & x = 1\\3 & x = 2\\1 & x= 3\\0 & O.W\end{cases} $$ لذا طبق تعریف تابع $ g$ تابع $ f$ رو تولید میکند. یا $ g \rightarrow f $ جواب د) تعریف میکنیم:

$$ f(x )=\begin{cases} \frac{1}{ x^{9} } & \mid x \mid > 1\\ \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } & \mid x \mid < 1\\1 & x= 1\\-1 & x= -1\end{cases} $$ بوضوح داریم: $$ x^{3} =fof $$ برای $ x^{5} $ همون تابع بالا که توان بجای $9 $برابر $15$ باشه جواب است

جواب قسمت ج)

برای تابع $ f $ فرض $ g \rightarrow f $ و$ g \rightarrow f $ لذا طبق تعریف داریم:

$$ g= \underbrace{fofo...of} _{k} $$

و

$$ f= \underbrace{gogo...og}_{t} $$ لذا $$ f= \underbrace{fofo...of}_{kt} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

لذا حداکثر تعداد $ g $ های مختلف به اندازه ی $kt $ است. چون اگر داشته باشیم:

$$ g= \underbrace{fofo...of} _{s} $$

که در آن $s>kt $ با تقسیم $ s $ بر $kt $ و جایگذاری رابطه ی $(1)$ تابع $g $ را برحسب ترکیب تعدادی کمتر از$kt $ تا $ f $ نوشت. لذا تعداد تابع های مختلف$g $ حداکثر $kt $ تا است.

چون تابع $ g $ توسط $f $ تولید می شود لذا یا داریم $g=f $ یا $ g=fof$ یا... $g= \underbrace{fofo...of} _{kt-1} $ و از این بیشتر نداریم چون اگر $ g $ ترکیب تعداد بیشتری از $f $ باشد با استفاده از رابطه ی $(1)$ میتوان بجای هر دسته ی $kt$ تایی از ترکیبات $f $ فقط یک $f $ قرار دهیم

توسط erfanm
برای قسمت ب فکر نکنم حدستون درست باشه
توسط erfanm
+1
تابع زیر رو در نظر بگیرید فکر کنم تابعی که مثال دادید روتولید میکنه

 $$ f(x )=\begin{cases}x-[x] & x > 1\\1  & x = \frac{a}{b}  \leq  1\\0 & x  \neq  \frac{a}{b}  <  1\\\end{cases}   $$
توسط zh
+1
بله حق با شماست. g، fof رو تولید میکنه.
توسط zh
+1
ببخشید قسمت آخر اثبات ج رو خوب متوجه نشدم. اگه ممکنه یه کم بیشتر توضیح بدین.
توسط erfanm
توضیحی رو به آخر اثبات اضافه کردم اگر باز هم گنگ بود بفرمایید تا توضیح بدم.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...