چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
218 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط math
ویرایش شده توسط erfanm

اگر$ x_{1} , x_{2} , x_{3} $ ریشه های معادله ی $ x^{3}+3x+5=0 $ باشند.

حاصل $ ( x_{2} + \frac{1}{ x_{2} } )( x_{3} + \frac{1}{ x_{3} } ) $$ ( x_{1} + \frac{1}{ x_{1} } ) $ را بدست آورید.

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@yedost
بله به احتمال زیاد ریشه های معادله هستن. امیدوارم سوالشونو ویرایش کنن.
راستی برای نوشتن فرمول در دیدگاه باید فرمول رو بین دو تا علامت دلار $ بذارید.
دارای دیدگاه توسط math
+1
سلام دوستان
ایکس 1 ، 2 و 3 سه تا از ریشه های متمایز معادله هستن
سوال برای آزمون ریاضی imc می باشد.
دارای دیدگاه توسط yedost
+1
ممنون از راهنماییتون
دارای دیدگاه توسط yedost
+1
فکرمیکنم ریشه مختلط داره یعنی $x_i$  ها لزوما صحیح نیستند.
دارای دیدگاه توسط math
+1
ابهام زیاد داره من گشتم اما پاسخ آزمون رو پیدا نکردم که ملزم شد اینجا مطرح کنم.
بازم ممنون از همه

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

باید روابط بین ریشه های معادله درجه سوم رو بلد باشید.

در حالت کلی در معادله درجه سوم $ax^3+bx^2+cx+d=0$ که دارای سه ریشه $x_1,x_2,x_3$ است را می توان به صورت $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ نوشت.

بنابراین $$ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x\\ -ax_1x_2x_3$$ (اینو به راحتی با ضرب $ a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $ میتونید به دست بیارید.)

در اینجا $x^3+0x^2+3x+5=0$ داریم $a=1,b=0, c=3, d=5$ .

اما داریم $$(x_1+\frac 1{x_1})(x_2+\frac 1{x_2})(x_3+\frac 1{x_3})=\frac{(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)}{x_1x_2x_3}$$

بنابر آنچه در بالا گفتیم $x_1x_2x_3=-\frac da=-5$ و $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac ca=3$ و $x_1+x_2+x_3=-\frac ba=0$

چون $x_1,x_2,x_3$ در معادله صدق می کنند و هیچکدام صفر نیستند(چرا؟) پس برای $i=1,2,3$داریم $$ x_i^2+1=\frac{-5-2x_i}{x_i} $$ لذا $$(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)=(\frac{-5-2x_1}{x_1})(\frac{-5-2x_2}{x_2})(\frac{-5-2x_3}{x_3})\\ =-\frac{125+50(x_1+x_2+x_3)+20(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+8x_1x_2x_3}{x_1x_2x_3}\\=-\frac{125+50(0)+20(3)+8(-5)}{-5}=29$$

البته $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)$ رو میتونید به طور مستقیم هم حساب کنید. چون برابر است با $$(x_1x_2x_3)^2+((x_1x_2)^2+(x_1x_3)^2+(x_2x_3)^2)+(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+1$$ و $$(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=(0)^2-2(3)=-6$$

و $$(x_1x_2)^2+(x_1x_3)^2+(x_2x_3)^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2-2(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2x_3)=(3)^2-2(0)(-5)=9$$

بنابراین $ (x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)=25-6+9+1=29 $ بنابراین $$(x_1+\frac 1{x_1})(x_2+\frac 1{x_2})(x_3+\frac 1{x_3})=\frac{29}{-5}$$

دارای دیدگاه توسط math
+1
سلام ممنونم از شما خیلی کمکم کردین
دست تون درد نکنه
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@math
خواهش میکنم. موفق باشید.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 420
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709562
...