چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
54 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط moha
ویرایش شده توسط fardina

اگر $X$ و $Y$ دو فضای توپولوژیک و $f:X\to Y$ یک تابع باشد $Gr(f)=\{(x,f(x)):x \in X\}$ یک زیر مجموعه $X\times Y$ است . اگر $Gr(f)$ بسته باشد (در$X\times Y$ ) آیا $f$ پیوسته است؟ مثالی بیاورید .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

به عنوان مثال $f:\mathbb R\to \mathbb R$ را با توپولوژی اقلیدسی در نظر بگیرید که $f(x)=\begin{cases}\frac 1x&x>0\\ 1&x\leq 0\end{cases}$ در اینصورت $Gr(f)$ برابر است با اجتماع دو مجموعه بسته که بسته است در حالیکه $f$ در $x=0$ پیوسته نیست.

قضیه درست از این قرار است:

اگر $X$ فضای توپولوژیک و $Y$ فضای توپولوژیک هاسدورف فشرده باشد در اینصورت $f$ پیوسته است اگر و تنها اگر $Gr(f)$ در $X\times Y$ بسته باشد.

شرط فشرده بودن فقط در جهت عکس الزامی است یعنی اگر $X$ فضای توپولوژیک و $Y$ فضای توپولوژیک هاسدورف و $f:X\to Y$ پیوسته باشد در اینصورت $Gr(f)$ در $X\times Y$ بسته است.

برای عکس این مطلب شرط فشردگی لازم است.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
66 نفر آنلاین
0 عضو و 66 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 314
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709456
...