چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
63 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط moha
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

فرض کنید $f$ پیوسته $c[0,1]= \{f:[0,1]\to \mathbb R\}$ و $ \parallel Tx \parallel \leq \parallel T \parallel \parallel x \parallel $ و $T:X\to\mathbb R$ .

ثابت کنید $$ \parallel T \parallel =\inf\{c \geq 0 : \parallel Tx \parallel \leq c \parallel x \parallel , \forall x \in X\}$$

دارای دیدگاه توسط fardina
+2
ببخشید میشه سوالو ویرایش کنید و بگید دقیقا دنبال اثبات چی هستید؟ شما نرم یک عملگر خطی رو میخواید ثابت کنید با اون اینفیمم که نوشتید برابر هستن؟ درست سوالو متوجه شدم؟
دارای دیدگاه توسط بی نام
بله میخوام ثابت کنم نرم این عبارت برابر است با inf..

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

نرم عملگر خطی $T:X\to Y$ که به صورت $$\|T\|=\sup\{\|Tx\|:\|x\|= 1\}$$ تعریف می شود برابر است با $$\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:0\neq x\in X\}$$

می دانیم که برای هر $x\in X$ داریم $\|Tx\|\leq \|T\|\|x\|$ بنابراین $\|T\|\in\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}$ و لذا $$\inf\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}\leq \|T\|\tag{*}$$

حال فرض کنید $c\in\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}$ دلخواه باشد در اینصورت برای هر $x\in X$ که $x\neq 0$ داریم $\frac{\|Tx\|}{\|x\|}\leq c$ و لذا $$\|T\|=\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:0\neq x\in X\}\leq c$$ چون $c$ دلخواه بود لذا $$\|T\|\leq \inf\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}\tag{**}$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
88 نفر آنلاین
1 عضو و 87 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3684
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698724
...