چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
2,027 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط bazarghan

ثابت کنید تعداد اعداد گنگ بیشتر از اعداد گویا است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

روش اول: متناظر با هر عدد گویا یک عدد گنگ معرفی میکنیم. و نشان میدهیم که اعداد گنگ دیگری هم وجود دارند.

$i$)عدد $ e $ یا حتی $ \pi $ را در نظر بگیرید. برای هر عدد گویای دلخواه $ \frac{a}{b} $ عدد گنگ $ e^{ \frac{a}{b} } $ یا $ \pi^{ \frac{a}{b} } $ را درنظر میگیریم و این نشان میدهد که اعداد گنگ حداقل دو برابر اعداد گویا هستند(متناظر یک گویا دو عدد گنگ موجود است) تازه اعداد رادیکالی هم هستند.

$ii$) هر عدد گویا را میتوان به صورت یک عدد اعشاری مختوم یا نامختوم متناوب است. اگر مختوم باشد مثلا $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} $ عدد گنگ $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m}1001000100001... $ را نظیر میکنیم و اگر نامختوم متناوب و به صورت $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} \overline{ c_{1} ... c_{k} } $ باشد عدد گنگ $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} c_{1} ... c_{k}1c_{1} ... c_{k}01c_{1} ... c_{k}001c_{1} ... c_{k}..... $ را نظیر میکنیم.

حتی میتوان به جای 1 عدد 2 را قرار دهیم پس تعداد گنگها بیشتر است.

روش دوم: ثابت شده است که اعداد حقیقی ناشمارا و اعداد گویا شمارا هستند حال اگر اعداد گنگ شمارا باشند آنگاه اجتماع گویا و گنگ یعنی دو مجموعه شمارا ، شمارا می شود اما اعداد حقیقی ناشمارا هستند پس اعداد گنگ ناشمارا است. لذا از اعداد گویا بیشتر است.

دارای دیدگاه توسط Taha1381
اعداد گویا شمارا است؟مطمعنید؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@Taha1381 چرا شما به جای همزه از عین استفاده‌می‌کنید؟ غیر از مطمئن در اینجا که مطمعن نوشته‌اید، در جای دیگر دیدم سؤال را سعال نوشته‌اید. دیده‌ام که برخی ئ را ی بنویسند و یا ؤ را و، ولی نخستین بار است که می‌بینم فردی ئ و ؤ را ع بنویسد!
مجموعهٔ عددهای گویا شمارا هستند. خود آقای عرفان می‌توانند منبع مناسب معرفی‌تان کنند، به نظر دانشجوی ریاضی نیستید و گر نه در درس مبانی‌ریاضیات در ترم نخست کارشناسی با این گزاره برخورد می‌داشتید.
دارای دیدگاه توسط Taha1381
ببخشید دو تاسوال داشتم:

۱-چرا مجموعه های ناشمارا بزرگتر از مجموعه های شمارا هستند؟

۲-از کجا می دانید پی ضربدر هر عدد گویایی گنگ است؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@Taha1381 هر مجموعهٔ ناشمارایی یک زیرمجموعهٔ شمارا دارد ولی هیچ مجموعهٔ شمارایی دارای زیرمجموعهٔ ناشمارا نیست.
فرض کنید حاصل ضربتان گویا باشد آنگاه اگر آن عدد گویا را تقسیم بر عدد گویایی که در $\pi$ ضب کرده‌بودید بکنید حاصل (به شرط ناصفر بودن حاصلضرب که هم‌ارز با ناصفر بودن عدد ضرب شده در $\pi$ است) باید عددی گویا باشد ولی حاصل این تقسیم چیزی نیست جز خود $\pi$ که می‌دانیم گنگ است. پس فرض خلفتان باطل و از آنجا حاصلضرب هر عدد گویای ناصفر در عدد $\pi$، عددی گنگ است.
دارای دیدگاه توسط Taha1381
خیلی ممنون.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3304
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712445
...