چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
88 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط fardina

اگر $f : X \rightarrow R $ انتگرال پذیر باشد نشان دهید $f$ بر هر زیرمجموعه اندازه پذیر از $X$ مانند $E$ نیز انتگرال پذیر است و داریم : $$ \int _{X} f d \mu = \int_{E} f d \mu + \int_{ E^{c} } f d \mu $$

مرجع: Aliprantis-Burkinshaw-Principles of real analysis-3ed.1998 صفحه 174
دارای دیدگاه توسط erfanm
+2
لطفا عنوان مناسبی برای سوالات خود انتخاب نمایید. عنوان کلی «انتگرال گیری» بیانگر دقیق سوال نیست برای اینکار بهتر است متن خود سوال را بنویسید.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

برای هر $E$ اندازه پذیر داریم $$\int_E|f|d\mu=\int |f|\chi_Ed\mu\leq\int|f|d\mu< \infty$$

پس $f$ روی $E$ نیز انتگرال پذیر است.

و از خطی بودن انتگرال یعنی $\int(af+bg)d\mu=a\int fd\mu+b\int gd\mu$ داریم:

$$\begin{align}\int_Efd\mu+\int_{E^c}d\mu&=\int f\chi_Ed\mu+\int f\chi_{E^c}d\mu\\ &=\int (f\chi_E+f\chi_{E^c})d\mu\\ &=\int f(\chi_E+\chi_{E^c})d\mu\\ &=\int f\chi_{E\cup E^c}d\mu\\ &=\int f\chi_Xd\mu\\ &=\int_X fd\mu\end{align}$$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
64 نفر آنلاین
0 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3651
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687459
...