چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
115 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina

آيا رابطه زير اثبات داره؟؟ يا يك تعريف است ؟؟ و اگر تعريف است چرا ايتگونه تعريف ميكنند؟؟

$ x^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{x} $

راستش من نميتونم با اين رابطه ارتباط برقرار كنم!!!!!

3 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

این رو در سوال دیگه ای هم پرسیدید و اگر رجوع میکردید به اینجا شاید به جواب می رسیدید.

ما طبق تعریف میگیم منظور از ریشه $n$ ام عدد حقیقی $x$ عدد حقیقی $r$ است که در معادله $r^n=x$ صدق کند. و ریشه $n$ ام را با $\sqrt[n]x$ یا $x^{\frac 1n}$نمایش می دهیم.

اینکه چرا با $x^{\frac 1n}$ نمایش می دهیم چون $x^{\frac 1n}$ در معادله $r^n=x$ صدق می کند ( $(x^{\frac 1n})^n=\underbrace{x^{\frac 1n}\times x^{\frac 1n}\times\cdots \times x^{\frac 1n}}_{n-times }=x$ )

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده
ویرایش شده توسط کیوان عباس زاده

قضیه : به ازای هر عدد حقیقی مثبت$x$ و هر عدد طبیعی $n$ عدد حقیقی مثبتی چون $y$ وجود دارد که $y^n=x$ و $y$ یکتاست . و برای $y$ از نماد $ \sqrt[n]{x} $ استفاده می کنیم .

اثبات : برای $n=1$ حکم بدیهی است زیرا کافی است قرار دهیم $y=x$ . حال فرض کنید $n \geq 2$ . مجموعه $$E= \lbrace t\in R^{+}\ |\ t^n < x\rbrace $$ را تعریف کنید . $E$ ناتهی است زیرا کافی است قرار دهیم $t=\frac{x}{x+1}$ در این صورت $t^n< x$ . از طرفی $E$ از بالا کراندار است زیرا کافی است قراردهیم $v=x+1$ دراین صورت $v^n>v>x$ . پس $v$ کران بالایی برای $E$ است . بنابراین طبق اصل تمامیت $E$ دارای سوپرمم است . فرض کنید $y=sup(E)$ . نشان می دهیم $y^n=x$.

فرض خلف : $y^n \neq x$ پس دو حالت داریم :

حالت $1$ : $y^n< x$

با استفاده از استقرای ریاضی به راحتی می توان نشان داد اگر $a,b$ دو عدد حقیقی مثبت که $0< a< b$ و $n$ عددی طبیعی باشد آنگاه داریم : $$b^n-a^n< n(b-a)b^{n-1}$$ حال قرار دهید $a=y$ و $b=y+h$ که $0< h< 1$ است و $h< \frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}$ . در این صورت $(y+h)^n< x$ . پس $y+h\in E$ که تناقض است .

حالت دوم : $y^n>x$ . عدد $k=\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}$ را در نظر بگیرید در این صورت $0< k< y$ . نشان می دهیم $y-k$ کران بالایی برای مجموعه$E$ است . زیرا فرض کنیم $s>y-k$ در این صورت با استفاده از نابرابری بالا داریم : $$y^n-s^n \leq y^n-(y-k)^n<kny^{n-1}=y^n-x$$ پس $s^n>x$ از این رو $s\notin E$ پس برای هر $t\in E$ داریم $t \leq y-k$ . یعنی $y-k$ کران بالایی برای $E$ است . پس $y \leq y-k$ که تناقض آشکار است .

پس $y^n=x$. $y$ یکتاست . زیرا اگر $y_{1},y_{2}$ دو عدد حقیقی متمایز و مثبت باشند آنگاه $y_{1}^n \neq y_{2}^n$ .

حال نشان می دهیم $ x^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{x} $ . زیرا داریم : $$(x^{ \frac{1}{n} })^n=\underbrace{x^{\frac 1n}\times x^{\frac 1n}\times\cdots \times x^{\frac 1n}}_{n-times }=x$$ از طرفی چون ریشه $n$ ام هر عدد یکتاست پس $ x^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{x} $

دارای دیدگاه توسط amirm20
خیلی ممنون بابت پاسختون .فقط چند سوال دارم.
1)اینکه اون قضیه که گفتید اسمش چیه . من تا حالا اون قصیه رو ندیدم.
2)$x$رو عضو اعداد حقیقی محسوب کردید ولی$y$ رو عضو اعداد حقیقی مثبت !چرا ؟با این وجود جواب هیج رادیکالی منفی نمیشود .چون  $y$که مثبته $n$ هم که عدد طبیعیه .
3)این قضیه رو <math>$   a^{m}  \times  a^{n}= a^{n+n}  $</math>فقط برای اعداد طبیعی$n.m$ قابل اثبات هست . ولی شما در خط یکی به اخر برای اعداد گویا $n,m$ استفاده کردین .!! !!!
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
اسم قضیه رو نمی دونم . x عدد حقیقی مثبت است ممنون ویرایش می کنم . قضیه ای که گفتید برای تمام اعداد m و n درست است.
دارای دیدگاه توسط kazomano
فکرکنم این اثبات متعلق به والتر رودین و تو بعضی از کتاب ها به نام قضیه رودین اومده.
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
مهم نیست n فرد باشد یا زوج . وقتی می گویید n عددی طبیعی است پس حتما n ناصفر است . این قضیه در آنالیز ریاضی خیلی معروفه . در کتاب والتر رودین هم آمده .
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
قضیه کاملا درسته . شما می توانید آن را به حالت های مختلف تعمیم دهید .
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده

تعمیم قضیه بیان شده در پاسخ قبل :

اگر $x$ عدد حقیقی مثبت و $n$ عدد طبیعی زوج باشد آنگاه عدد حقیقی $y$ وجود دارد که $y^n=x$ . و اگر $x$ عدد حقیقی دلخواه و $n$ عدد طبیعی فرد باشد آنگاه عدد حقیقی $y$ وجود دارد که $y^n=x$ .

اثبات : اگر $x$ عدد حقیقی مثبت باشد و $n$ عدد طبیعی زوج باشد آنگاه طبق قضیه قبل عدد حقیقی $y$ وجود دارد که $y^n=x$ . حال فرض کنید $x$ عدد حقیقی دلخواه و $n$ عدد طبیعی فرد است . دو حالت داریم :

حالت اول : $x$ عدد حقیقی مثبت باشد که مجددا طبق قضیه قبل حکم درست است .

حالت دوم : $x$ عدد حقیقی منفی یاشد . در این صورت $-x$ عدد حقیقی مثبت است پس طبق قضیه قبل عدد حقیقی مثبت $y$ وجود دارد که $y^n=-x$ . چون $n$ عدد فرد است پس : $$(-y)^n=-y^n=-(-x)=x$$ پس $ (-y)^n =x$ و حکم ثابت شد .

دارای دیدگاه توسط amirm20
خیلی ممنون.
دارای دیدگاه توسط amirm20
ممنون بابت تعمیم و لی چند سوال :
در حالت اول آیا $y$ یکتاست ؟
در حالت دوم چی ؟آیا $y$ یکتاست ؟
واینکه صفر در کجا قرار میگیرد ؟
ممنون میشم صفر و هم بررسی کنید .
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3639
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687447
...