به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
115 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط بی نام
ویرایش شده توسط fardina

آيا رابطه زير اثبات داره؟؟ يا يك تعريف است ؟؟ و اگر تعريف است چرا ايتگونه تعريف ميكنند؟؟

$ x^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{x} $

راستش من نميتونم با اين رابطه ارتباط برقرار كنم!!!!!

3 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

این رو در سوال دیگه ای هم پرسیدید و اگر رجوع میکردید به اینجا شاید به جواب می رسیدید.

ما طبق تعریف میگیم منظور از ریشه $n$ ام عدد حقیقی $x$ عدد حقیقی $r$ است که در معادله $r^n=x$ صدق کند. و ریشه $n$ ام را با $\sqrt[n]x$ یا $x^{\frac 1n}$نمایش می دهیم.

اینکه چرا با $x^{\frac 1n}$ نمایش می دهیم چون $x^{\frac 1n}$ در معادله $r^n=x$ صدق می کند ( $(x^{\frac 1n})^n=\underbrace{x^{\frac 1n}\times x^{\frac 1n}\times\cdots \times x^{\frac 1n}}_{n-times }=x$ )

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده
ویرایش شده توسط کیوان عباس زاده

قضیه : به ازای هر عدد حقیقی مثبت$x$ و هر عدد طبیعی $n$ عدد حقیقی مثبتی چون $y$ وجود دارد که $y^n=x$ و $y$ یکتاست . و برای $y$ از نماد $ \sqrt[n]{x} $ استفاده می کنیم .

اثبات : برای $n=1$ حکم بدیهی است زیرا کافی است قرار دهیم $y=x$ . حال فرض کنید $n \geq 2$ . مجموعه $$E= \lbrace t\in R^{+}\ |\ t^n < x\rbrace $$ را تعریف کنید . $E$ ناتهی است زیرا کافی است قرار دهیم $t=\frac{x}{x+1}$ در این صورت $t^n< x$ . از طرفی $E$ از بالا کراندار است زیرا کافی است قراردهیم $v=x+1$ دراین صورت $v^n>v>x$ . پس $v$ کران بالایی برای $E$ است . بنابراین طبق اصل تمامیت $E$ دارای سوپرمم است . فرض کنید $y=sup(E)$ . نشان می دهیم $y^n=x$.

فرض خلف : $y^n \neq x$ پس دو حالت داریم :

حالت $1$ : $y^n< x$

با استفاده از استقرای ریاضی به راحتی می توان نشان داد اگر $a,b$ دو عدد حقیقی مثبت که $0< a< b$ و $n$ عددی طبیعی باشد آنگاه داریم : $$b^n-a^n< n(b-a)b^{n-1}$$ حال قرار دهید $a=y$ و $b=y+h$ که $0< h< 1$ است و $h< \frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}$ . در این صورت $(y+h)^n< x$ . پس $y+h\in E$ که تناقض است .

حالت دوم : $y^n>x$ . عدد $k=\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}$ را در نظر بگیرید در این صورت $0< k< y$ . نشان می دهیم $y-k$ کران بالایی برای مجموعه$E$ است . زیرا فرض کنیم $s>y-k$ در این صورت با استفاده از نابرابری بالا داریم : $$y^n-s^n \leq y^n-(y-k)^n<kny^{n-1}=y^n-x$$ پس $s^n>x$ از این رو $s\notin E$ پس برای هر $t\in E$ داریم $t \leq y-k$ . یعنی $y-k$ کران بالایی برای $E$ است . پس $y \leq y-k$ که تناقض آشکار است .

پس $y^n=x$. $y$ یکتاست . زیرا اگر $y_{1},y_{2}$ دو عدد حقیقی متمایز و مثبت باشند آنگاه $y_{1}^n \neq y_{2}^n$ .

حال نشان می دهیم $ x^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{x} $ . زیرا داریم : $$(x^{ \frac{1}{n} })^n=\underbrace{x^{\frac 1n}\times x^{\frac 1n}\times\cdots \times x^{\frac 1n}}_{n-times }=x$$ از طرفی چون ریشه $n$ ام هر عدد یکتاست پس $ x^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{x} $

دارای دیدگاه توسط amirm20
خیلی ممنون بابت پاسختون .فقط چند سوال دارم.
1)اینکه اون قضیه که گفتید اسمش چیه . من تا حالا اون قصیه رو ندیدم.
2)$x$رو عضو اعداد حقیقی محسوب کردید ولی$y$ رو عضو اعداد حقیقی مثبت !چرا ؟با این وجود جواب هیج رادیکالی منفی نمیشود .چون  $y$که مثبته $n$ هم که عدد طبیعیه .
3)این قضیه رو <math>$   a^{m}  \times  a^{n}= a^{n+n}  $</math>فقط برای اعداد طبیعی$n.m$ قابل اثبات هست . ولی شما در خط یکی به اخر برای اعداد گویا $n,m$ استفاده کردین .!! !!!
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
اسم قضیه رو نمی دونم . x عدد حقیقی مثبت است ممنون ویرایش می کنم . قضیه ای که گفتید برای تمام اعداد m و n درست است.
دارای دیدگاه توسط kazomano
فکرکنم این اثبات متعلق به والتر رودین و تو بعضی از کتاب ها به نام قضیه رودین اومده.
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
مهم نیست n فرد باشد یا زوج . وقتی می گویید n عددی طبیعی است پس حتما n ناصفر است . این قضیه در آنالیز ریاضی خیلی معروفه . در کتاب والتر رودین هم آمده .
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
قضیه کاملا درسته . شما می توانید آن را به حالت های مختلف تعمیم دهید .
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده

تعمیم قضیه بیان شده در پاسخ قبل :

اگر $x$ عدد حقیقی مثبت و $n$ عدد طبیعی زوج باشد آنگاه عدد حقیقی $y$ وجود دارد که $y^n=x$ . و اگر $x$ عدد حقیقی دلخواه و $n$ عدد طبیعی فرد باشد آنگاه عدد حقیقی $y$ وجود دارد که $y^n=x$ .

اثبات : اگر $x$ عدد حقیقی مثبت باشد و $n$ عدد طبیعی زوج باشد آنگاه طبق قضیه قبل عدد حقیقی $y$ وجود دارد که $y^n=x$ . حال فرض کنید $x$ عدد حقیقی دلخواه و $n$ عدد طبیعی فرد است . دو حالت داریم :

حالت اول : $x$ عدد حقیقی مثبت باشد که مجددا طبق قضیه قبل حکم درست است .

حالت دوم : $x$ عدد حقیقی منفی یاشد . در این صورت $-x$ عدد حقیقی مثبت است پس طبق قضیه قبل عدد حقیقی مثبت $y$ وجود دارد که $y^n=-x$ . چون $n$ عدد فرد است پس : $$(-y)^n=-y^n=-(-x)=x$$ پس $ (-y)^n =x$ و حکم ثابت شد .

دارای دیدگاه توسط amirm20
خیلی ممنون.
دارای دیدگاه توسط amirm20
ممنون بابت تعمیم و لی چند سوال :
در حالت اول آیا $y$ یکتاست ؟
در حالت دوم چی ؟آیا $y$ یکتاست ؟
واینکه صفر در کجا قرار میگیرد ؟
ممنون میشم صفر و هم بررسی کنید .
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 926
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5006578
...