به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
252 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط fardina

حاصل انتگرالهای مکرر زیر را به دست آورید:

$$\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy=-\frac\pi4\\ \int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx=\frac \pi4$$
مرجع: Aliprantis-Burkinshaw-Principles of real analysis-3ed.1998 تمرین 26.5
دارای دیدگاه توسط MK90
+1
جوابشو دارم ولی ازش سر در نمیارم مستقیم جواب آخرشو نوشته!!!!

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

از این استفاده کنید: $$\frac{d}{dx}\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط yedost

از تغییر متغیر $x=sint$ و $y=cost$ استفاده می کنیم،در نتیجه $dy=-sintdt$ و $dx=costdt$ و می دانیم $ sin^{2}(t)+ cos^{2}(t) =1 $، $cos^{2}(t)=1- sin^{2}(t)$ در نتیجه: $$f(x,y)= \frac{ x^{2}- y^{2} }{( x^{2}+ y^{2} )^{2} } =sin^{2}(t)-cos^{2}(t)=2sin^{2}(t)-1$$ همچنین: $$x=0 \Rightarrow t=0$$ $$x=1 \Rightarrow t= \frac{\pi}{2} $$ $$y=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}$$ $$y=1 \Rightarrow t=0 $$

پس: $$ \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dydx= \int_0^\frac{\pi}{2} \int_\frac{\pi}{2}^0(2sin^{2}(t)-1)(-sintdt)(costdt)= $$ $$\int_0^\frac{\pi}{2} \int_0^\frac{\pi}{2}(2sin^{3}(t)-sint)costdtdt$$ با تغییر متغیر $u=sint \Rightarrow du=costdt$عبارت زیر به دست می آید که با انتگرالگیری به سادگی به جواب موردنظر میرسیم. $$\int(\int(2 u^{3}-u )du)dt$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
42 نفر آنلاین
0 عضو و 42 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 939
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5006591
...