چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
242 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط fardina

حاصل انتگرالهای مکرر زیر را به دست آورید:

$$\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy=-\frac\pi4\\ \int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx=\frac \pi4$$
مرجع: Aliprantis-Burkinshaw-Principles of real analysis-3ed.1998 تمرین 26.5
دارای دیدگاه توسط MK90
+1
جوابشو دارم ولی ازش سر در نمیارم مستقیم جواب آخرشو نوشته!!!!

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

از این استفاده کنید: $$\frac{d}{dx}\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط yedost

از تغییر متغیر $x=sint$ و $y=cost$ استفاده می کنیم،در نتیجه $dy=-sintdt$ و $dx=costdt$ و می دانیم $ sin^{2}(t)+ cos^{2}(t) =1 $، $cos^{2}(t)=1- sin^{2}(t)$ در نتیجه: $$f(x,y)= \frac{ x^{2}- y^{2} }{( x^{2}+ y^{2} )^{2} } =sin^{2}(t)-cos^{2}(t)=2sin^{2}(t)-1$$ همچنین: $$x=0 \Rightarrow t=0$$ $$x=1 \Rightarrow t= \frac{\pi}{2} $$ $$y=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}$$ $$y=1 \Rightarrow t=0 $$

پس: $$ \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dydx= \int_0^\frac{\pi}{2} \int_\frac{\pi}{2}^0(2sin^{2}(t)-1)(-sintdt)(costdt)= $$ $$\int_0^\frac{\pi}{2} \int_0^\frac{\pi}{2}(2sin^{3}(t)-sint)costdtdt$$ با تغییر متغیر $u=sint \Rightarrow du=costdt$عبارت زیر به دست می آید که با انتگرالگیری به سادگی به جواب موردنظر میرسیم. $$\int(\int(2 u^{3}-u )du)dt$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
61 نفر آنلاین
0 عضو و 61 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3590
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687398
...