به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
59 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90

انتگرال های زیر را محاسبه کنید: $$f(x,y)= \begin{cases} e^{-xy}.sinx.siny & x \geq 0,y \geq 0\\0 & o.w\end{cases} $$ $$ \int_{R}\int_{R}f(x,y) dx dy=? $$ $$\int_{R}\int_{R}f(x,y) dy dx=? $$ $$ \int_{ R^{2} }f(x,y) dx=? $$

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
منظورتون از $R$ چیه؟
دارای دیدگاه توسط MK90
+1
@fardina
اعداد حقیقی تو نمادها پیداش نکردم به جاش R نوشتم
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
میشه بگید که این سوال از کدوم کتاب هست و آیا درست سوالو نوشتید؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

این سوال مثالی از تابعی هست که انتگرال های مکرر وجود دارند و برابرند ولی انتگرال دو گانه موجود نیست.

برای نشان دادن اینکه انتگرالهای مکرر مجمودند و برابرند به این صورت عمل میکنیم:

$$I=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\sin y dxdy=\int_0^\infty\sin y(\int_0^\infty e^{-xy}\sin xdx)dy$$ اگر $\int_0^\infty e^{-xy}\sin x dx$ را با انتگرال گیری جز به جز حساب کنید خواهیم داشت $\int_0^\infty e^{-xy}\sin x dx=\frac{1}{1+y^2}$ (چرا؟)

و لذا $I=\int_0^\infty\frac{\sin y}{1+y^2}dy$ این انتگرال رو نمیتونیم بر حسب توابع مقدماتی یک تابع اولیه براش پیدا کنیم. ولی واضحه که انتگرال پذیر است زیرا: $$|\int_0^\infty\frac{\sin y}{1+y^2}dy|\leq \int_0^\infty |\frac{\sin y}{1+y^2}dy\leq \int_0^\infty \frac 1{1+y^2}dy=\tan^{-1}x|^\infty_0=\frac\pi 2$$

و بنا بر تقارنی که وجود دارد به دلیل مشابه واضح است که $\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\sin y dydx$ نیز وجود دارد.

حال ثابت می کنیم انتگرال دوگانه $e^{-xy}\sin x\sin y$ موجود نیست.

توجه کنید که تعریف انتگرال پذیری لبگ تابع اندازه پذیر $f$ به معنای متناهی بودن $\int |f|$ است. اما ما حالا ثابت می کنیم انتگرال قدر مطلق بی نهایت می شود و یک تناقض خواهد بود.

به برهان خلف فرض کنیم انتگرال دوگانه $e^{-xy}\sin x\sin y $ موجود باشد یعنی $ \iint_{R^2}|e^{-xy}\sin x\sin y |dx\times dy< \infty $

اما داریم

$$\begin{align}\int_0^\infty\int_0^\infty |e^{-xy}\sin x\sin y|dxdy&=\int_0^\infty \sum_{k=0}^\infty\int_{k\pi}^{(k+1)\pi y}e^{-xy}|\sin x||\sin y|dxdy\\ &\geq \int_0^\infty \sum_0^\infty e^{-(k+1)\pi y}\frac \pi 3|\sin y| dy\\ &=\sum_0^\infty \int_0^\infty \frac\pi 3 e^{-(k+1)\pi y}|\sin y|dy\\ &= \sum_{k=0}^\infty\sum_{k'=0}^\infty \int_{k'\pi}^{(k'+1)\pi}\frac\pi 3 e^{-(k+1)\pi y}|\sin y|dy\\ &\geq \sum_{k=0}^\infty\sum_{k'=0}^\infty \frac\pi 3e^{-(k+1)(k'+1)\pi^2}\frac\pi 3\\ &=(\frac\pi 3)^2\sum_{k=1}^\infty\sum_{k'=1}^\infty e^{-(k+1)(k'+1)\pi^2}\\ &=(\frac\pi 3)^2\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{(k+1)\pi^2}}{e^{(k+1)\pi^2}-1}\\ &=(\frac\pi 3)^2\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{(k+1)\pi^2}-1+1}{e^{(k+1)\pi^2}-1}\\ &=(\frac\pi 3)^2(\sum_{k=1}^\infty 1+\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^{(k+1)\pi^2}-1}) \end{align}$$ هر یک از سریهای بالا مثبت اند و از جمله $\sum_0^\infty 1=\infty$ بنابراین انتگرال دو گانه برابر بی نهایت شد که با فرض خلف در تناقض است.


توجه کنید که در استلال بالا از این مطلب استفاده کرده ایم که تابع $e^{-x}$ نزولی است لذا در بازه $(k\pi,(k+1)\pi)$ از $e^{-(k+1)\pi}$ بزرگتر است و همچنین در این بازه داریم $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|dx\geq \int_{k\pi+\frac \pi 6}^{(k+1)\pi-\frac \pi 6}|\sin x|dx\geq \int_{k\pi+\frac \pi 6}^{(k+1)\pi-\frac \pi 6}\frac 12dx=\frac \pi 3$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 5447
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5017681
...