به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
119 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Sobhi
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $A$ یک سیگما جبر مجموعه های شمارا یا متمم شمارا روی مجموعه اعداد حقیقی ( $ℝ$) باشد . تابع $v:A→ [0,1]$ را به صورت زیر تعریف می کنیم:

$$ v(A) =\begin{cases}0 & A\ shomara\ bashad\\1 & A^c \ shomara\ bashad\end{cases} $$ موارد زیر را پیدا کنید: $v^\star([0,\infty))$ و $v^\star((-\infty , 0))$ و $v^\star([0,1])$ و $v^\star([0,\frac 12])$

دارای دیدگاه توسط erfanm
$v$رو فهمیدم چیه اما منظور از $v^{*} $ چیه؟
دارای دیدگاه توسط admin
+1
منظورش اندازه خارجیه.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

بنابر تعریف اندازه خارجی: $$ v^\star(E)=\inf\big\{\sum_1^\infty v(E_i):E\subset \bigcup E_i,E_i\in A\big\} $$ توجه کنید که برای اعضای هر $E\in A $ داریم: $ v^\star(E)=v(E) $ . مثلا$v^\star(\mathbb R)=v(\mathbb R)=1 $ .پس تا حالا مطمئنیم که اندازه خارجی هر مجموعه ای کوچکتر مساوی $ 1 $ است.

حال برای مجموعه $ [0,\infty) $ باید گردایه ی $ \{E_i\}_1^\infty\subset A $ را پیدا کنیم که اینفیمم $ \big\{\sum_1^\infty v(E_i):E\subset \bigcup E_i,E_i\in A\big\} $ باشد. چون $ [0,\infty) $ ناشمارا است پس اگر $[0,\infty)\subset \bigcup E_i $ باشد باید حداقل یکی از $E_i $ ها ناشمارا باشد در اینصورت چون $ v(E_i) $ ها همگی صفر هستند(چون شمارا هستند) به جز برای آن یکی مجموعه $ E_i $ که ناشماراست داریم $v(E_i)=1 $ و لذا $ \sum_1^\infty v(E_i) =1$ . پس $v^\star ([0,\infty))=1 $ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
46 نفر آنلاین
0 عضو و 46 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 301
بازدید دیروز: 6583
بازدید کل: 5012536
...