چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
118 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Sobhi
ویرایش شده توسط fardina

فرض کنید $A$ یک سیگما جبر مجموعه های شمارا یا متمم شمارا روی مجموعه اعداد حقیقی ( $ℝ$) باشد . تابع $v:A→ [0,1]$ را به صورت زیر تعریف می کنیم:

$$ v(A) =\begin{cases}0 & A\ shomara\ bashad\\1 & A^c \ shomara\ bashad\end{cases} $$ موارد زیر را پیدا کنید: $v^\star([0,\infty))$ و $v^\star((-\infty , 0))$ و $v^\star([0,1])$ و $v^\star([0,\frac 12])$

دارای دیدگاه توسط erfanm
$v$رو فهمیدم چیه اما منظور از $v^{*} $ چیه؟
دارای دیدگاه توسط admin
+1
منظورش اندازه خارجیه.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

بنابر تعریف اندازه خارجی: $$ v^\star(E)=\inf\big\{\sum_1^\infty v(E_i):E\subset \bigcup E_i,E_i\in A\big\} $$ توجه کنید که برای اعضای هر $E\in A $ داریم: $ v^\star(E)=v(E) $ . مثلا$v^\star(\mathbb R)=v(\mathbb R)=1 $ .پس تا حالا مطمئنیم که اندازه خارجی هر مجموعه ای کوچکتر مساوی $ 1 $ است.

حال برای مجموعه $ [0,\infty) $ باید گردایه ی $ \{E_i\}_1^\infty\subset A $ را پیدا کنیم که اینفیمم $ \big\{\sum_1^\infty v(E_i):E\subset \bigcup E_i,E_i\in A\big\} $ باشد. چون $ [0,\infty) $ ناشمارا است پس اگر $[0,\infty)\subset \bigcup E_i $ باشد باید حداقل یکی از $E_i $ ها ناشمارا باشد در اینصورت چون $ v(E_i) $ ها همگی صفر هستند(چون شمارا هستند) به جز برای آن یکی مجموعه $ E_i $ که ناشماراست داریم $v(E_i)=1 $ و لذا $ \sum_1^\infty v(E_i) =1$ . پس $v^\star ([0,\infty))=1 $ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3568
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687376
...