چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
35 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zmohamadi
ویرایش شده توسط erfanm

به ازای هر $Z$-مدول $A ،$ حاصل $Ext ^{1} _{Z}(Z_{m},A) $ را محاسبه کنید .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

دنباله ی دقیق $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow \mathbb{Z} @>m>> \mathbb{Z} \longrightarrow\mathbb{Z}_{m} \longrightarrow 0\end{CD} $$ را در نظر میگیریم و فانکتور $ Hom(-,A) $ را اعمال میکنیم آنگاه دنباله ی دقیق زیر را بدست می آوریم: $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow Hom(\mathbb{Z},A) @>m>> Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \end{CD} $$ $$\begin{CD} \longrightarrow Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z},A) \longrightarrow ...\end{CD}$$

از آنجایی که $Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z},A)=0$ و $Hom(\mathbb{Z},A) \cong A $ پس دنباله به صورت زیر در می آید. $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow A @>m>>A @>f>>Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow 0\end{CD} $$ چون همریختی آخری پوشا است پس از قضیه اول یکسانی $ \frac{A}{ker(f)} \cong Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) $ اما $ker(f)$ با برد $\begin{CD} A @>m>>A \end{CD}$ یعنی $mA$یکریخت است پس خواهیم داشت:

$ Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \cong \frac{A}{mA}$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
40 نفر آنلاین
0 عضو و 40 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 818
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709960
...