به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
35 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zmohamadi
ویرایش شده توسط erfanm

به ازای هر $Z$-مدول $A ،$ حاصل $Ext ^{1} _{Z}(Z_{m},A) $ را محاسبه کنید .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

دنباله ی دقیق $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow \mathbb{Z} @>m>> \mathbb{Z} \longrightarrow\mathbb{Z}_{m} \longrightarrow 0\end{CD} $$ را در نظر میگیریم و فانکتور $ Hom(-,A) $ را اعمال میکنیم آنگاه دنباله ی دقیق زیر را بدست می آوریم: $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow Hom(\mathbb{Z},A) @>m>> Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \end{CD} $$ $$\begin{CD} \longrightarrow Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z},A) \longrightarrow ...\end{CD}$$

از آنجایی که $Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z},A)=0$ و $Hom(\mathbb{Z},A) \cong A $ پس دنباله به صورت زیر در می آید. $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow A @>m>>A @>f>>Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow 0\end{CD} $$ چون همریختی آخری پوشا است پس از قضیه اول یکسانی $ \frac{A}{ker(f)} \cong Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) $ اما $ker(f)$ با برد $\begin{CD} A @>m>>A \end{CD}$ یعنی $mA$یکریخت است پس خواهیم داشت:

$ Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \cong \frac{A}{mA}$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
46 نفر آنلاین
0 عضو و 46 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2169
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5007821
...