Question

به ازای هر $Z$-مدول $A ،$ حاصل $Ext ^{1} _{Z}(Z_{m},A) $ را محاسبه کنید .

Answer 1

دنباله ی دقیق $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow \mathbb{Z} @>m>> \mathbb{Z} \longrightarrow\mathbb{Z}_{m} \longrightarrow 0\end{CD} $$ را در نظر میگیریم و فانکتور $ Hom(-,A) $ را اعمال میکنیم آنگاه دنباله ی دقیق زیر را بدست می آوریم: $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow Hom(\mathbb{Z},A) @>m>> Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \end{CD} $$ $$\begin{CD} \longrightarrow Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z},A) \longrightarrow ...\end{CD}$$

از آنجایی که $Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z},A)=0$ و $Hom(\mathbb{Z},A) \cong A $ پس دنباله به صورت زیر در می آید. $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow A @>m>>A @>f>>Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow 0\end{CD} $$ چون همریختی آخری پوشا است پس از قضیه اول یکسانی $ \frac{A}{ker(f)} \cong Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) $ اما $ker(f)$ با برد $\begin{CD} A @>m>>A \end{CD}$ یعنی $mA$یکریخت است پس خواهیم داشت:

$ Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \cong \frac{A}{mA}$