به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
142 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mohammad.yaldi
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

می دانیم در آنالیز فوریه که اگر $f$ و $g$ دو تابع مربع انتگرال‌پذیر باشند، آن‌گاه پیچش $f$ و $g$ که با $f \ast g$ نشان داده می‌شود به صورت زیر است: $(f \ast g)(t) = \int f(x-t)g(t)dx$ اکنون من به دنبال تعریفی هستم که اگر $\mu$ و $\nu$ دو اندازه احتمال بورل باشند و همچنین مجموعه E یک مجموعه بورل باشد آن‌گاه $ (\mu \ast \nu) (E)= ?$

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
میتونید تعریفش رو در اینجا ببینید:
https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution#Convolution_of_measures
دارای دیدگاه توسط mohammad.yaldi
+1
بابت وقتی که گذاشتید ممنونم این راحت‌ترین و قابل دسترس ترین پاسخ بود اما من به دنبال منبعی هستم که به طور جامع توضیح داده باشد یا حداقل برایم این مسئله را توجیح کند که چرا
math> $(\mu  * \nu )(E) = \int {\mu (E - t)d\nu (t).} $ </math>
باری دیگر سپاس ارزانی شما.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر دنبال مرجعی برای خواندن در این مورد هستید میتونید کتاب های آنالیزحقیقی فولند فصل Elements of Fourier Analysis رو ببینید.

اما در مورد سوالی که گفتید چرا $(\mu*\nu)(E)=\int \mu(E-t)d\nu(t)$ به این دلیل هست که بنابر تعریف $$(\mu*\nu)(E)=\mu\times \nu(\alpha^{-1}(E))$$ که $\alpha:\mathbb R\times \mathbb R\to \mathbb R$ به صورت $\alpha(x,y)=x+y$ تعریف می شود.

اما برای هر $E\subset \mathbb R\times \mathbb R$ می دانیم که $$(\mu\times \nu)(E)=\int \mu(E^y)d\nu(y)$$ که $E^y=\{x:(x,y)\in E\}$ .

بنابراین $$(\mu*\nu)(E)=\int\mu((\alpha^{-1}(E))^y)d\nu(y)$$ اما $$(\alpha^{-1}(E))^y=\{x:(x,y)\in \alpha^{-1}(E)\}=\{x:x+y=\alpha(x)\in E\}=E-y$$ و لذا $ (\mu*\nu)(E)=\int \mu(E-y)d\nu(y) $

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
53 نفر آنلاین
1 عضو و 52 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 6502
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5012154
...