چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
82 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط erfanm

نشان دهید هر $R$-مدول $M$ یک توسیع تزریقی (انژکتیو) دارد.

مرجع: کتاب مقدمه ای بر نظریه مدول ها صفحه 120 نتیجه 2
دارای دیدگاه توسط MK90
+1
در واقع سوال اصلی من اینه که:
چرا E پریم با عمل تعریف شده یک مدول است.
چرا E زیر مدولی از E پریم است.
دارای دیدگاه توسط erfanm
در این سوال $E$  را نداریم بلکه $M$  است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

اثبات مدول بودن:

$( E^{'} ,+) $ یک گروه آبلی است.

$i$)بسته بودن: اگر $x,y $ دو عضو دلخواه از $ E^{'} $ باشند آنگاه $ \overline{ \varphi }(x) ,\overline{ \varphi }(y) $ دو عضو از $E^{''}$ خواهند بود و چون $E^{''}$ مدول است پس $ \overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) $ در $E^{''}$ است و چون $ \overline{ \varphi } $وارون پذیر است لذا $\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )=x+y \in E^{'} $.

$ii$)شرکت پذیری: برای هر سه عضو دلخواه $x,y ,z $ در $ E^{'} $ داریم:

$$(x+y)+z=\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )+z=\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )) +\overline{ \varphi }(z) )=\overline{ \varphi }^{-1} ((\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y)) +\overline{ \varphi }(z) )= $$ $$\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +(\overline{ \varphi }(y) +\overline{ \varphi }(z) ))= x+\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(y) +\overline{ \varphi }(z) )=x+(y+z)$$

$iii$)عضو خنثی : از اینکه $( E^{'} ,+) $ یک گروه آبلی است داریم عضو خنثی جمعی مانند $0$ دارد عضو خنثی این گروه برابر است با $\overline{ \varphi }^{-1}(0) = \overline{0} $ داریم:

$$x+ \overline{0}=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x)+0)=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x))=x$$

$iv$)وارون : وارون هر عضو مانند $ x $ برابر است با $ -x $

شروط بعدی

(1) به ازای هر دو عضو دلخواه $x,y $ از $ E^{'} $ و هر عضو $r \in R $ داشته باشیم $r(x+y)=rx+ry $داریم:

$$r(x+y)=\overline{ \varphi }^{-1} (r(\overline{ \varphi }(x)+\overline{ \varphi }(y)))=\overline{ \varphi }^{-1} (r\overline{ \varphi }(x)+r\overline{ \varphi }(y))=\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(y))=r.x+r.y$$

(2) به ازای هر دو عضو دلخواه $r,s $ از $ R $ و هر عضو $x \in E^{'} $ داشته باشیم $(r+s)x=rx+sx $داریم:

$(r+s)x=\overline{ \varphi }^{-1}((r+s)\overline{ \varphi }(x))=\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(s\overline{ \varphi }(x))=rx+sx$

(3) به ازای هر دو عضو دلخواه $r,s $ از $ R $ و هر عضو $x \in E^{'} $ داشته باشیم $(rs)x=r(sx) $داریم:

$(rs)x=\overline{ \varphi }^{-1}((rs)\overline{ \varphi }(x))=r\overline{ \varphi }^{-1}((s)\overline{ \varphi }(x))=r(sx)$

(4) به ازای هر عضو دلخواه $x $ از $ E^{'}$ داشته باشیم $1x=x $داریم: $$1x=\overline{ \varphi }^{-1}(1\overline{ \varphi }(x))=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x))=x$$

پس مدول بودن ثابت شد.

قسمت دوم سوال شما هم واضح است چون در اصل تعریف کرده ایم که $ E^{'}=M \cup S $ پس داریم: $M \subseteq E^{'}$ و چون مدول است لذا یک زیر مدول خواهد شد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
58 نفر آنلاین
0 عضو و 58 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1753
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704080
...