به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
84 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط erfanm

نشان دهید هر $R$-مدول $M$ یک توسیع تزریقی (انژکتیو) دارد.

مرجع: کتاب مقدمه ای بر نظریه مدول ها صفحه 120 نتیجه 2
دارای دیدگاه توسط MK90
+1
در واقع سوال اصلی من اینه که:
چرا E پریم با عمل تعریف شده یک مدول است.
چرا E زیر مدولی از E پریم است.
دارای دیدگاه توسط erfanm
در این سوال $E$  را نداریم بلکه $M$  است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

اثبات مدول بودن:

$( E^{'} ,+) $ یک گروه آبلی است.

$i$)بسته بودن: اگر $x,y $ دو عضو دلخواه از $ E^{'} $ باشند آنگاه $ \overline{ \varphi }(x) ,\overline{ \varphi }(y) $ دو عضو از $E^{''}$ خواهند بود و چون $E^{''}$ مدول است پس $ \overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) $ در $E^{''}$ است و چون $ \overline{ \varphi } $وارون پذیر است لذا $\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )=x+y \in E^{'} $.

$ii$)شرکت پذیری: برای هر سه عضو دلخواه $x,y ,z $ در $ E^{'} $ داریم:

$$(x+y)+z=\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )+z=\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )) +\overline{ \varphi }(z) )=\overline{ \varphi }^{-1} ((\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y)) +\overline{ \varphi }(z) )= $$ $$\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +(\overline{ \varphi }(y) +\overline{ \varphi }(z) ))= x+\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(y) +\overline{ \varphi }(z) )=x+(y+z)$$

$iii$)عضو خنثی : از اینکه $( E^{'} ,+) $ یک گروه آبلی است داریم عضو خنثی جمعی مانند $0$ دارد عضو خنثی این گروه برابر است با $\overline{ \varphi }^{-1}(0) = \overline{0} $ داریم:

$$x+ \overline{0}=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x)+0)=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x))=x$$

$iv$)وارون : وارون هر عضو مانند $ x $ برابر است با $ -x $

شروط بعدی

(1) به ازای هر دو عضو دلخواه $x,y $ از $ E^{'} $ و هر عضو $r \in R $ داشته باشیم $r(x+y)=rx+ry $داریم:

$$r(x+y)=\overline{ \varphi }^{-1} (r(\overline{ \varphi }(x)+\overline{ \varphi }(y)))=\overline{ \varphi }^{-1} (r\overline{ \varphi }(x)+r\overline{ \varphi }(y))=\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(y))=r.x+r.y$$

(2) به ازای هر دو عضو دلخواه $r,s $ از $ R $ و هر عضو $x \in E^{'} $ داشته باشیم $(r+s)x=rx+sx $داریم:

$(r+s)x=\overline{ \varphi }^{-1}((r+s)\overline{ \varphi }(x))=\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(s\overline{ \varphi }(x))=rx+sx$

(3) به ازای هر دو عضو دلخواه $r,s $ از $ R $ و هر عضو $x \in E^{'} $ داشته باشیم $(rs)x=r(sx) $داریم:

$(rs)x=\overline{ \varphi }^{-1}((rs)\overline{ \varphi }(x))=r\overline{ \varphi }^{-1}((s)\overline{ \varphi }(x))=r(sx)$

(4) به ازای هر عضو دلخواه $x $ از $ E^{'}$ داشته باشیم $1x=x $داریم: $$1x=\overline{ \varphi }^{-1}(1\overline{ \varphi }(x))=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x))=x$$

پس مدول بودن ثابت شد.

قسمت دوم سوال شما هم واضح است چون در اصل تعریف کرده ایم که $ E^{'}=M \cup S $ پس داریم: $M \subseteq E^{'}$ و چون مدول است لذا یک زیر مدول خواهد شد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
48 نفر آنلاین
0 عضو و 48 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 152
بازدید دیروز: 5217
بازدید کل: 5000944
...