چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
151 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

نشان دهید: $$N \cap (K \oplus P)=(N \cap K) \oplus (N \cap P) $$ $$ \frac{K \oplus P}{N}= \frac{K }{N} \oplus \frac{P+N }{N}$$

مرجع: کتاب مقدمه ای بر نظریه مدول ها صفحه 182 قضیه5

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

رابطه ی $N \cap (K \oplus P)=(N \cap K) \oplus (N \cap P) $ همواره برقرار نیست بلکه شرط $K \subseteq N $ را لازم دارد. و اگر این شرط برقرار باشد آنگاه $ N \cap K=K $ پس رابطه به صورت $N \cap (K \oplus P)= K \oplus (N \cap P) $ در می آید.

در واقع این سوال تمرین 2 فصل اول کتاب مقدمه ای بر نظریه مدولهای یاسمی- پورنکی است.

برای مثال نقض قرار دهید $K=\{(x,0) : x \in R\}$ و $N=\{(0,x) : x \in R\}$ و$P=\{(x,x) : x \in R\}$

آنگاه $ (K \oplus P)= R^{2} $ پس $ N \cap (K \oplus P)=N $ و $N \cap K =\{(0,0)\} $ و $ N \cap P =\{(0,0)\} $

اثبات رابطه با شرط $K \subseteq N $ نیز به سادگی با عضو گیری امکان پذیر است.

برای رابطه دوم اولا قضیه زیر را داریم: اگر $ D_{1} $ و $ D_{2} $ دو زیر مدول $ A_{1} $ و $ A_{2} $ باشند آنگاه $$ \frac{A_{1} \oplus A_{2} }{D_{1} \oplus D_{2} } \cong \frac{A_{1} }{D_{1} } \oplus \frac{A_{2} }{D_{2} } $$

کافیست در رابطه بالا قرار دهیم $ A_{1}=K $ و $D_{1}=N $و $A_{2}=P $و $D_{2}=N $ آنگاه $$ \frac{K \oplus P }{N } \cong \frac{K }{N } \oplus \frac{P}{N } $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3272
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712413
...