چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
56 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90

اگر $M$ و $N$با تولید متناهی باشند آیا $ Hom(M,N) $ با تولید متناهی است؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

لزومی ندارد. در واقع شرط نوتری بودن حلقه $R$ لازم است.( مثال پس از اثبات قضیه اصلی)

قضیه:فرض کنید $R $ یک حلقه نوتری و $ M $ و $ N $ دو $ R $ مدول با تولید متناهی باشند آنگاه $Hom_{R} (M,N) $ یک $ R $ با تولید متناهی است.

اثبات:از آنجایی که $ M $ با تولید متناهی است لذا یک $ k $ وجود دارد که $ M $ با خارج قسمتی از $ R^{k} $ یکریخت است یعنی $M \cong \frac{ R^{k} }{L} $ پس $Hom_{R} (M,N) \cong Hom_{R} (\frac{ R^{k} }{L} ,N) $.

اعضای $ Hom_{R} (\frac{ R^{k} }{L} ,N) $ نگاشتهای $ R $ خطی از $ \frac{ R^{k} }{L} $ به $ N $ هستند. در واقع معادل هستند با نگاشتهای از $ R^{k} $ به $ N $ که روی $ L $ صفر هستند. مجموعه ی چنین نگاشتهایی یک زیر مدول از $Hom_{R} ( R^{k},N) $ است. لذا $Hom_{R} ( M,N) $ را می توان در $ Hom_{R} ( R^{k},N) $ نشاند.

با تعریف $ f \longmapsto (f( e_{1} ,f( e_{2} ),...,f( e_{k} )) $ داریم $Hom_{R} ( R^{k},N) \cong N^{k} $. و چون $ N $ با تولید متناهی است لذا $ N^{k}$ نیز با تولید متناهی است و چون $ R $ نوتری است لذا $ N^{k} $ نیز $ R $ مدولی نوتری است پس تمام زیر مدولهای آن با تولید متناهی خواهند بود. پس تمام زیر مدولهای $Hom_{R} ( R^{k},N) \cong N^{k}$ نیز با تولید متناهی است و حکم ثابت شد.

اما شرط نوتری بودن را نمی توان حذف کرد. برای هر ایده آل $ I $ داریم: $ Hom_{R} (\frac{ R }{I} ,R) \cong \{ r \in R : rI=0 \} $ پس اگر مثالی را بیاوریم که $ \{ r \in R : rI=0 \}$ با تولید متناهی نباشد آنگاه این یک مثال نقض خواهد بود( $ R $ و $ \frac{ R }{I} $ هر دو با تولید متناهی هستند چون توسط $1$ تولید می شوند.)

مثال: قرار دهید $ R=\frac{ K[ x_{1} , x_{2} ,...] }{(..., x_{i} x_{j} ,...)} $ و $ I $ را ایده آلی شامل $f+(..., x_{i} x_{j} ,...) $ها که مقدار ثابت چند جمله ای $f$ صفر باشد بگیرید. آنگاه $ fI=0 $ اگر و تنها اگر جمله ی ثابت $ f$صفر باشد. پس $ \{ r \in R : rI=0 \}=I $ و به راحتی میتوان نشان داد که $ I$ با تولید متناهی نیست.

دارای دیدگاه توسط erfanm
منبع:
$NOETHERIAN   \ MODULES
\ by \ \ KEITH \ \ CONRAD$
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 1787
بازدید دیروز: 7287
بازدید کل: 4704114
...