چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
252 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط parya
ویرایش شده توسط fardina

اگر $d,c,b,a$ چهار جمله متوالی دنباله حسابی باشند. نشان دهید $ abcd + ( b - c)^{4} $ مربع کامل است.

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط dr
انتخاب شده توسط admin
 
بهترین پاسخ

ممنون راه حلتون جالب بود ولی اگه کسی فرمول اولو ندیده باشه میتونه از واسطه ی حسابی استفاده کنه $$ \frac{a + c}{2} = b \Rightarrow a = 2b - c$$ $$ \frac{b + d}{2}= c \Rightarrow d = 2c - b $$ حال با جایگذاری تساویهای فوق در رابطه داده شده داریم:

$$ abcd + (b - c)^{4} = (2b - c)bc (2c - b)+ (b - c)^{4} =(2bc - c^{2} )(2bc - b^{2 } )+ ( b - c)^{4} $$

$$ =(4 b^{2} c^{2} -( c^{2}+ b^{2} ) (2bc) + b^{2} c^{2} ) + (b - c)^{4} =$$ $$((-2bc)( b^{2} - 2bc + c^{2} ) + b^{2}c^{2} ) + (b - c)^{4} =$$ $$ (-2bc)(b - c)^{2}+ (bc)^{2} +( (b - c )^{2} )^{2} = $$ $$ ( ( b - c)^{2} - bc )^{2} $$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina

ابتدا براحتی میتوان ثابت کرد که $ bc-ad=2 q^{2} $ که در آن $ q $ قدر نسبت دنباله است. با ضرب طرفین در $ ad $ همچنین استفاده از رابطه ی $(b-c)^{2}= q^{2} $ داریم: $$abcd=2ad(b-c)^{2} + a^{2}d^{2} $$ با جایگذاری این رابطه در صورت سوال داریم:

$$\begin{align} abcd + ( b - c)^{4}&=(b-c)^{4} + 2ad(b-c)^{2} + a^{2}d^{2}\\ &=((b-c)^{2}+ad)^{2}\\ \end{align} $$
دارای دیدگاه توسط parya
انتقال داده شده توسط fardina
+1

ببخشید متوجه نشدم میشه قدر نسبت رو با یه نماد دیگه نشون بدید

دارای دیدگاه توسط fardina
ببخشید تقصیر من بود سوالو ویرایش کرده بودم $q$ رو به $d$ که در دنباله های حسابی معمولا به کار میبرن تبدیل کردم.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3259
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712400
...