چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
400 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط fatemeh20
برچسب گذاری دوباره توسط fatemeh20

سلام. من در اثبات قضیه رادون نیکودیم به مشکل برخوردم.

صورت قضیه در کتاب آنالیز حقیقی فولند: enter image description here

در حالت سوم که اندازه علامت $ \nu $ را به دو اندازه $ \nu^+ $ و $ \nu^- $ تجزیه کردیم برای $ \nu^+ $ و $ \mu $ یک $ \rho ^1$ و $ \lambda ^1 $ و $f^1$ یکتا یافت میشوند همچنین برای $ \nu^- $ و $ \mu $ ، $ \rho ^2$ و $ \lambda ^2 $ و $f^2$ را به طور یکتا پیدا میکنیم (با توجه به حالت دوم )

و در آخر برای $ \nu $ و $ \mu $ ، $ \lambda = \lambda ^1- \lambda ^2$ ، $ \rho = \rho ^1- \rho ^2$ و $f=f^1-f^2$ بدست میآید حال سوال من این است که $f$ باید انتگرال پذیر توسعه یافته نسبت به $ \mu $ باشد(یعنی حداکثر یکی از $ \int f^+d \mu , \int f^-d \mu $ بی نهایت باشند) چطور این اثبات میشود؟ با توجه به اینکه $f^1,f^2 $ میتوانند مثبت بی نهایت را اختیار کنند!

مرجع: کتاب آنالیز حقیقی-فولند- ویرایش دوم- فصل 3 - صفحه 90

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط fatemeh20
 
بهترین پاسخ

چون $\nu$ یک اندازه علامتدار است پس حد اکثر می تواندفقط یکی از مقادیر $\infty$ یا $-\infty$ را اختیار کند. پس اگر به عنوان مثال $\nu$ نتواند $\infty$ را اختیار کند انگاه $\nu^+(X)< \infty$ و لذا بنابر حالت دوم در اثبات $\nu^+=\rho^1+\lambda^1$ و $\rho, \lambda$ هر دو اندازه مثبت هستند لذا این دو باید هر دو متناهی شوند. پس مشکلی که گفتید اتفاق نمیفته.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
65 نفر آنلاین
0 عضو و 65 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 318
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709460
...