چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
204 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Alireza Zamani

در چهارضلعی ABCD که نقطه O محل برخورد قطر هاست ، مساحت ABO برابر 8 و مساحت DCO برابر 18 است.کمترین مساحت ممکن برای این چهارضلعی چقدر است؟

enter image description here

1) 50

2)45

3)75

4) نمیتوان تعیین کرد.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

enter image description here

طبق فرض داریم: $$ S_{OAB} = \frac{1}{2} xy\ sin( \alpha )=8$$ وهمچنین: $$ S_{OCD} = \frac{1}{2} zw\ sin( \alpha )=18$$

پس برای مینیمم شدن مساحت باید $ S_{OBD} +S_{OCA}$ را مینیمم کنیم میدانیم $$ S_{OBD}= \frac{1}{2} yw\ sin( 180-\alpha )= \frac{1}{2} yw\ sin( \alpha ) $$ و $$S_{OCA} \frac{1}{2} xz\ sin( 180-\alpha )= \frac{1}{2} xz\ sin( \alpha ) $$ پس $$ S_{OCA} \times S_{OBD}= \frac{1}{2} yw\ sin( \alpha ) \times \frac{1}{2} xz\ sin( \alpha )= $$ $$ \frac{1}{2} xy\ sin( \alpha ) \times \frac{1}{2} zw\ sin( \alpha )=8 \times 18=144$$ حاصلضرب دو مساحت مقداری ثابت است پس مجموع زمانی مینیمم است که هر دو برابر باشند یعنی هر کدام برابر $12$ باشند.

مساحت کل مینیمم هم برابر است با: $$ 12+12+8+18=50$$

دارای دیدگاه توسط erfanm
پاسخ این سوال را یکی از دبیران ریاضی فرستادند بنده فقط جواب رو تایپ کردم.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط arzhang ARBAB

به نام خدا با سلام ،بنده یک اثبات دیگر نیز برایش دارم که عبارت است از: مقدار مساحت کل چهار ضلعی برابر است با: $S(ABO)+S(DCO)+S(BDO)+S(ACO) $که مقادیر $ S(ABO) $و$S(DCO)$داده شده است،پس $ S_{کل} $زمانی کم ترین مقدار است که :$ S(BDO)+S(ACO) $کمترین مقدار باشد.پس داریم:

$S(BDO)=S(ABO). \frac{DO}{AO} $و $S(AOC)=S(ODC). \frac{AO}{DO} $در کل حکم صورت سوال به این شکل میشود: $ min [ \frac{8DO}{AO} + \frac{18AO}{DO} ] $ حال باید مینیمم را بیابیم: $ \frac{8DO}{AO} + \frac{18AO}{DO}=t $برای سهولت کار $ DO=x،AO=y $خواهیم داشت: $ 8 x^{2}-txy+18 y^{2} =o $که در آخر برای یافتن ریشه به این روش عمل میکنیم: $ \frac{ty \pm \sqrt{ t^{2} y^{2}-4 \times 8 \times 18 y^{2} } }{16} $ که در اینجا حداقل $ t $برای اینکه این معادله ریشه موهومی نداشته باشد و در اعداد حقیقی جوابی داشته باشد بدست خواهد آمد :$ \sqrt{4 \times 8 \times 18}=24 $ دقت کنید که 24 حداقل مقدار مساحت دو مثلث مذکور است پس مساحت کل : $24+8+18=50 $

دارای دیدگاه توسط saderi7
خیلی ممنون بابت پاسخ .
چه خوب میشه اگر در سایت ثبت نام کنید وقتتون زیاد گرفته نمیشه !!
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
43 نفر آنلاین
0 عضو و 43 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 728
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709870
...