به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
212 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Alireza Zamani

در چهارضلعی ABCD که نقطه O محل برخورد قطر هاست ، مساحت ABO برابر 8 و مساحت DCO برابر 18 است.کمترین مساحت ممکن برای این چهارضلعی چقدر است؟

enter image description here

1) 50

2)45

3)75

4) نمیتوان تعیین کرد.

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

enter image description here

طبق فرض داریم: $$ S_{OAB} = \frac{1}{2} xy\ sin( \alpha )=8$$ وهمچنین: $$ S_{OCD} = \frac{1}{2} zw\ sin( \alpha )=18$$

پس برای مینیمم شدن مساحت باید $ S_{OBD} +S_{OCA}$ را مینیمم کنیم میدانیم $$ S_{OBD}= \frac{1}{2} yw\ sin( 180-\alpha )= \frac{1}{2} yw\ sin( \alpha ) $$ و $$S_{OCA} \frac{1}{2} xz\ sin( 180-\alpha )= \frac{1}{2} xz\ sin( \alpha ) $$ پس $$ S_{OCA} \times S_{OBD}= \frac{1}{2} yw\ sin( \alpha ) \times \frac{1}{2} xz\ sin( \alpha )= $$ $$ \frac{1}{2} xy\ sin( \alpha ) \times \frac{1}{2} zw\ sin( \alpha )=8 \times 18=144$$ حاصلضرب دو مساحت مقداری ثابت است پس مجموع زمانی مینیمم است که هر دو برابر باشند یعنی هر کدام برابر $12$ باشند.

مساحت کل مینیمم هم برابر است با: $$ 12+12+8+18=50$$

دارای دیدگاه توسط erfanm
پاسخ این سوال را یکی از دبیران ریاضی فرستادند بنده فقط جواب رو تایپ کردم.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط arzhang ARBAB

به نام خدا با سلام ،بنده یک اثبات دیگر نیز برایش دارم که عبارت است از: مقدار مساحت کل چهار ضلعی برابر است با: $S(ABO)+S(DCO)+S(BDO)+S(ACO) $که مقادیر $ S(ABO) $و$S(DCO)$داده شده است،پس $ S_{کل} $زمانی کم ترین مقدار است که :$ S(BDO)+S(ACO) $کمترین مقدار باشد.پس داریم:

$S(BDO)=S(ABO). \frac{DO}{AO} $و $S(AOC)=S(ODC). \frac{AO}{DO} $در کل حکم صورت سوال به این شکل میشود: $ min [ \frac{8DO}{AO} + \frac{18AO}{DO} ] $ حال باید مینیمم را بیابیم: $ \frac{8DO}{AO} + \frac{18AO}{DO}=t $برای سهولت کار $ DO=x،AO=y $خواهیم داشت: $ 8 x^{2}-txy+18 y^{2} =o $که در آخر برای یافتن ریشه به این روش عمل میکنیم: $ \frac{ty \pm \sqrt{ t^{2} y^{2}-4 \times 8 \times 18 y^{2} } }{16} $ که در اینجا حداقل $ t $برای اینکه این معادله ریشه موهومی نداشته باشد و در اعداد حقیقی جوابی داشته باشد بدست خواهد آمد :$ \sqrt{4 \times 8 \times 18}=24 $ دقت کنید که 24 حداقل مقدار مساحت دو مثلث مذکور است پس مساحت کل : $24+8+18=50 $

دارای دیدگاه توسط saderi7
خیلی ممنون بابت پاسخ .
چه خوب میشه اگر در سایت ثبت نام کنید وقتتون زیاد گرفته نمیشه !!
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3470
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009122
...