چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
1,219 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Alireza Zamani
ویرایش شده توسط fardina

اگر $m_{a} $ و $m_{b} $ و $m_{c} $ طول میانه های مثلث ABC باشد ، آنگاه ثابت کنید که مساحت این مثلث برابر است با :

$$S_{ABC}= \frac{4}{3} \sqrt{p(p-m_{a})(p-m_{b})(p-m_{c} )} $$

که در آن $p = \frac{1}{2}(m_{a}+m_{b}+m_{c})$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

ممکنه هر کسی با دید متفاوتی به این مساله نگاه کنه ولی همونطور که واضحه بنابر قاعده هرون مساحت مثلث با اضلاع $m_a, m_b, m_c$ برابر است با $$S_{m_am_bm_c}=\sqrt{p(p-m_a)(p-m_b)(p-m_c)}$$ که $$p=\frac{m_a+m_b+m_c}2$$

پس حالا کافی است ثابت کنید نسبت مساحت مثلث $ABC$ به مثلث با اضلاع $m_a, m_b, m_c$ برابر است با $\frac 43$ .

برای این کار هم مثلا میتونید مثل زیر عمل کنید:

enter image description here

اگر $O$ محل تلاقی میانه ها باشند نقطه $O'$ را قرینه ی نقطه ی $O$ نسبت به پاره خط $BC$ در نظر بگیرید. در اینصورت کافی است توجه کنید که $CO=\frac 23m_c$ و $ OO'=\frac 23 m_a $ و $O'C=\frac 23 m_b$ (چرا؟)

بنابراین $\frac{S_{COO'}}{S_{m_am_bm_c}}=\frac 49$ .

اما $S_{COO'}=\frac 13 S_{ABC}$ ( زیرا در هر مثلث میانه ها مثلث را به شش مثلث با مساحت مساوی تقسیم میکنند(چرا؟))

بنابراین $S_{ABC}=3\times \frac 49S_{m_am_bm_c}=\frac 43S_{m_am_bm_c}$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
68 نفر آنلاین
0 عضو و 68 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3797
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712938
...