به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
100 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mohammad.yaldi
ویرایش شده توسط fardina

ثابت کنید که

$‎‎ \mid \int_ {[‎0,1]} e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid ^{2} = ‎‎\frac{‎\sin^{2}(\pi (T+t))‎}{\pi^{2}(T+t)^2} $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
$$ \int_0^1 e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx= \frac{1}{-2 \pi i (T+t)}(e‎^{-2 \pi i (T+t) 1} -e‎^{-2 \pi i (T+t) 0}) $$

همچنین: $$ e‎^{-2 \pi i (T+t) 1} -e‎^{-2 \pi i (T+t) 0}=e‎^{-2 \pi i (T+t) }-1=cos(-2 \pi (T+t) )-1+$$ $$isin(-2 \pi (T+t) )$$ داریم: $$ \mid \int_0^1 e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid = \mid \frac{1}{-2 \pi i (T+t)}(cos(-2 \pi (T+t) )-1+isin(-2 \pi (T+t) ) )\mid=$$ $$ \frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{(cos(-2 \pi (T+t) )-1)^2+(sin(-2 \pi (T+t) )-1)^2}= $$ $$\frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{2-2cos(-2 \pi (T+t) )} $$

حال در مرحله آخر عبارت اصلی را بدست می آوریم:

$$ \mid \int_0^1 e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid^2=(\frac{1}{2\pi (T+t)} \sqrt{2-2cos(-2 \pi (T+t) )})^2=$$ $$ \frac{1}{4\pi^{2}(T+t)^2}(2(1-cos(2 \pi (T+t) ))) $$

میدانیم که $ 1-cos(2 \pi (T+t) )=2 sin^2( \pi (T+t) )$ پس با جایگذاری داریم:

$$‎‎ \mid \int_0^1 e‎^{-2 \pi i (T+t) x}dx \mid ^{2} = ‎‎\frac{‎\sin^{2}(\pi (T+t))‎}{\pi^{2}(T+t)^2} $$
دارای دیدگاه توسط mohammad.yaldi
–1
سپاس از وقتی که تقدیم کردی.
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
56 نفر آنلاین
0 عضو و 56 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3447
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009099
...