چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+5 امتیاز
9,794 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط Amir Hossein
ویرایش شده توسط fardina

ضلع مربع زیر$ 10 $ سانتی متر میباشد . enter image description here مساحت قسمت رنگی چقدر است ؟ ( شکل از برخورد 4 ربع دایره حاصل شده است . )

3 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
انتخاب شده توسط Amir Hossein
 
بهترین پاسخ

برای بدست آوردن مساحت مراحل زیر را انجام می دهیم:

enter image description here

از نقطه ی $ E $ به نقاط $ C $ و $ D $ وصل میکنیم تا مثلث متساوی الاضلاع به مساحت $ \frac{100 \sqrt{3} }{4} $ بدست آید.

enter image description here

ناحیه ی رنگی در شکل بالا قطاعی از دایره به زاویه ی 60 است که مساحت آن برابر است با $ \frac{100 \pi}{6} $

با منها کردن مساحت های بدست آمده مساحت ناحیه ی رنگی زیر بدست می آید که برابر است با $ \frac{100 \pi}{6} - \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

enter image description here

با دو برابر کردن آن و جمع با مساحت مثلث مساحت ناحیه ی زیر بدست می آید. $ \frac{100 \pi}{3} - \frac{100 \sqrt{3} }{2}+ \frac{100 \sqrt{3} }{4}= \frac{100 \pi}{3} - \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

enter image description here

حال اگر ربع دایره با کمان $AEC$ را در نظر بگیریم مساحت آن برابر است با $\frac{100 \pi}{4}$ و اگر از آن ناحیه ی رنگی بالا را کم کنیم مساحت ناحیه ی رنگی

enter image description here

بدست می آید که برابر است با:

$\frac{100 \pi}{4}- \frac{100 \pi}{3} + \frac{100 \sqrt{3} }{4}=\frac{100 \pi}{12}+ \frac{100 \sqrt{3} }{4}$

حال اگر دقت کنیم ناحیه خواسته شده برابر متمم 4 برابر ناحیه ی بالا است چون:

enter image description here

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
نمایش از نو توسط fardina

درحالت کلی فرض کنید طول ضلع مربع $a$ باشد.

در اینصورت با توجه به شکل زیر

مساحت مثلثی که با رنگ صورتی نشان داده شده است برابر است با $$S_1=\frac{\sqrt{3}}4a^2$$ (چون یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع $a$ است)

circle

چون $S_2$ کمان روبروی به زاویه ی $60^\circ$ است لذا مساحت آن برابر است با $$S_2=\frac{\pi a^2}{6}-S_1=\frac{\pi a^2}{6}-\frac{\sqrt 3}4a^2$$

همچنین $S_2+S_3$ برابر با مساحت قطاعی از دایره است که با زاویه $30^\circ$ جدا شده است پس $$S_2+S_3=\frac{\pi a^2}{12}$$ بنابراین $$S_3=\frac{\pi a^2}{12}-S_2=\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2$$

بنابر تقارن موجود مساحت قسمت رنگی که مد نظر شما هست برابر است با مساحت مربع منهای چهار تا مساحت $S_3$

circle2

بنابراین

$$S=S_{square}-4S_3=a^2-4(\frac{\pi a^2}{12}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt 3}4a^2)$$
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط taha

اثباتشو نمیدونم ولی میشه32درصد مساحت همه مثلث

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@taha
سلام taha
کدوم مثلث؟
دارای دیدگاه توسط taha
+1
ببخشید مربع اشتباه شده
دارای دیدگاه توسط Taha1381
تقریبا میشه ۳۲ درصد نه دقیقا
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
63 نفر آنلاین
0 عضو و 63 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2439
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673898
...