چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
61 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط zahra

سوال 3.15 با اثبات ریاضی وتوضیح بیشتر درون عکس آپلود شده

مرجع: سوال تمرین 3.15 کتاب Jean_Jacod, Philip Protter -Probability essential
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+2
خب فردی که پاسخ می‌دهد زحمت تایپ کردن و نوشتن مطلب را دارد می‌کشد، آن هم برای کمک به دیگری، چرا پرسش‌کننده زمان نگذارد و کمی ترجمه و تایپ برای پرسشش که کمک به خودش است بگذارد و کمی توضیح بدهد که بیشتر با چه چیزی از پرسش مشکل داشته‌است تا زمان کمتری از پایخ‌دهنده گرفته شود و مشکل اصلی را رفع کند. البته که پیوست کردن منبع اصلی خوب است ولی به معنای هیچ چیزی از خودتان ننوشتن نیست!

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

برای پاسخگویی به این تمرین نیاز دارید تمرین پیشین یعنی ۳.۱۴ را نیز انجام دهید. چون در متن پرسشتان بحث و محیط مطرح نشده‌است نیاز است برای خواننده پرسش را شفاف کنیم (زحمتی که پرسش‌کننده باید به گردن بگیرد نه پاسخ‌دهنده).

  • یک شرکت بیمه تعداد برابری آقا و خانم را بیمه می‌کند، پس احتمال مرد یا زن بودن یک بیمه‌شدهٔ این شرکت برابر، و برابر با یک دوم است.

  • در یک سال، ناوابسته به سال‌های دیگر، احتمال اینکه بیمه‌شدهٔ مرد، تصادف داشته‌باشد $\alpha$ و برای بیمه‌شدهٔ زن، $\beta$ است.

در تمرین ۳.۱۴ دو بند وجود دارد. بند (الف) از شما می‌خواهد که احتمال اینکه یک بیمه‌شدهٔ این شرکت امسال تصادف داشته‌باشد را بیابید. پیشامد تصادف داشتن را با $X$ و پیشامد مرد و زن بودن یک بیمه‌شده را به ترتیب با $M$ و $F$ نشان دهید در این صورت می‌دانیم $$P(F)=P(M)=\frac{1}{2},\:P(X|M)=\alpha,\:P(X|F)=\beta$$

توجه کنید که $F\cup M$ کل بیمه‌شدگان می‌شود و $F\cap M=\emptyset$، پس ${F,M}$ یک افراز برای فضای نمونه است و در نتیجه می‌توان از قضیهٔ ۳.۴ (معادلهٔ افراز) استفاده کرد. خواستهٔ بند (الف) -ِ تمرین ۳.۱۴ یافتن $P(X)$ است. $$P(X)=P(X|M)P(M)+P(X|F)P(F)=\frac{\alpha+\beta}{2}$$

بند (ب) از شما می‌خواهد که احتمال اینکه یک بیمه‌شدهٔ این شرکت دو سال پشت‌سرهم تصادف داشته‌باشد را بیابید. پیشام اینکه یک بیمه‌شده دو سال پشت‌سرهم تصادف داشته‌باشد را با $Y$ نمایش دهید. پیشامد تصادف داشتن در امسال را با $X_1$ و تصادف داشتن در سال پسین را با $X_2$ نمایش دهید. با توجه به فرض‌ها داریم؛ $$\begin{array}{l}P(X_1|M)=P(X_2|M)=P(X|M)=\alpha\\ P(X_1|F)=P(X_2|F)=P(X|F)=\beta\\ P(Y|M)=P(X_1|M\cap X_2|M)=P(X_1|M)P(X_2|M)=\alpha^2\\ P(Y|F)=P(X_1|F\cap X_2|F)=P(X_1|F)P(X_2|F)=\beta^2\\ P(Y)=P(Y|M)P(M)+P(Y|F)P(F)=\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}\end{array}$$

پرسش ۳.۱۵ می‌گوید پیشامد تصادف داشتن یک بیمه‌شده امسال را با $A_1$ نمایش دهید پس در واقع $A_1=X$، پیشامد تصادف داشتن یک بیمه‌شده در سال پسین را با $A_2$ نمایش دهید پس $Y=A_2|A_1$.

پرسش اصلی که پرسش‌کنندهٔ این پست نیز راهنمایی می‌خواهند (با توجه به عنوان پست)، ثابت کردن این است که در این محیط و شرایط داریم $P(A_2|A_1)\geq P(A_1)$. برای این کار کافیست نشان دهیم $P(A_2|A_1)-P(A_1)$ نامنفی است. علت اینکه بندهای (الف) و (ب) تمرین ۳.۱۴ را زمان گذاشتیم و پاسخ دادیم این بود که اکنون آنها را نیاز داریم. $$\begin{array}{lll} P(A_2|A_1)-P(A_1) & = & \frac{P(A_2\cap A_1)}{P(A_1)}-P(A_1)\\ & = & \frac{\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}}{\frac{\alpha+\beta}{2}}-\frac{\alpha+\beta}{2}\\ & = & \frac{2(\alpha^2+\beta^2)-(\alpha+\beta)^2}{2(\alpha+\beta)}\\ & = & \frac{(\alpha-\beta)^2}{2(\alpha+\beta)}\geq 0\end{array}$$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
91 نفر آنلاین
0 عضو و 91 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3648
بازدید دیروز: 8256
بازدید کل: 4498771
...