چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
242 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mohammad21

سلام.ممنون میشم برای اثبات قضیه زیر راهنمایی کنید. $∥A∥_{2} ^{2} =ρ(A^{t}A)$ ممنون

مرجع: جبر خطی عددی
دارای دیدگاه توسط N
ویرایش شده توسط fardina
+1
منظورتون از <math>$ \rho $</math> همون trc هست آیا؟
دارای دیدگاه توسط mohammad21
+1
سلام.منظورم نرم ۲ ماتریسیه.یه قضیهاست ولی هرکاری میکنم جواب نمیگیرم

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

فرض کنیم x برداری باشد که $ \| x \| _{2}=1 $ در این صورت

$ \| Ax \| _{2} ^{2}= x^{H} A^{H} Ax $ چون ماتریس $ A^{H} A $ هرمیتی است پس دارای n بردار ویژه متمایز و متعامد است.فرض کنیم $ u_{1} ,..., u_{n} $ بردارهای ویژه متعامد یکه $ A^{H} A $ باشند.بنابراین

$ u_{i} ^{H} u_{j}= \delta _{ij} $ و $ A^{H} A u_{i} = \lambda _{i} u_{i} $ از طرفی هربردار دلخواه را می توان برحسب بردارهای ویژه نمایش داد یعنی $x= \sum_1^n \alpha _{i} u_{i} $ در نتیجه خواهیم داشت

$ \| Ax \| _{2} ^{2}= x^{H} A^{H} Ax= x^{H} A^{H} A \sum_1^n \alpha _{i} u_{i}=x^{H}\sum_1^n \alpha _{i} A^{H} Au_{i}=x^{H} \sum_1^n \alpha _{i}\lambda _{i} u_{i}= \sum_1^n \overline{ \alpha _{j} } u_{j} ^{H} \sum_1^n \alpha _{i}\lambda _{i} u_{i}= \sum_1^n \ \mid \alpha _{i} \mid ^{2} \lambda _{i} \leq \sum_1^n \ \mid \alpha _{i} \mid ^{2}max( \lambda _{i} )= \rho ( A^{H} A) $ پس شعاع طیفی یک کران بالاست.حالا اگه حالا اگه فرض کنیم شعاع طیفی بزرگترین مقدار ویژه مثلا k امیش باشه و قرار بدیم x رو برابر بردار ویژه نظیر این مقدار ویژه اونوقت می بینیم که شعاع طیفی به دست میاد.پس اثبات تمومه.

$1=x^{H}x= \sum_1^n \overline{ \alpha _{j} }\sum_1^n \alpha _{i} u_{i}= \sum_1^n \ \mid \alpha _{i} \mid ^{2}$و

$ \| Au_{k} \| _{2} ^{2}=u_{k} ^{H}\lambda _{k} u_{k}=\lambda _{k} $
دارای دیدگاه توسط mohammad21
ممنوننننننننننننننننننننننننننننننننننننننننننن.فدات بشمممممممممممممممممممممممممم
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
64 نفر آنلاین
0 عضو و 64 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 2394
بازدید دیروز: 5078
بازدید کل: 4673853
...