چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
84 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مبستa94
ویرایش شده توسط fardina

حلقه‌ی ‎$S=\frac{K[x_{1},\ldots,x_{n}] }{(x_{1},x_{2}) \bigcap( x_{3} , x_{4} )}$‎ کوهن-مکالی نیست چرا؟ عمق آن را بدست اورید؟

مرجع: monomial idealsکتاب -هرزوگ، هیبی

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

برای راحتی کار قرار میدهیم $s=k[ x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} ]$و$I=( x_{1} , x_{2} )$ و$J=( x_{3} , x_{4} )$ آنگاه دنباله ی دقیق کوتاه زیر را داریم: $$0 \rightarrow \frac{S}{I \cap J} \rightarrow \frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J} \rightarrow \frac{S}{I+J} \rightarrow 0 $$

$ \frac{S}{I} \cong k[ x_{3} , x_{4}] $لذا کوهن مکالی است و بعد و عمق آن برابر 2 است به طور مشابه $ \frac{S}{J} \cong k[ x_{1} , x_{2}] $و بعد و عمق آن برابر 2 است لذا عمق $ \frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J} $ نیز برابر 2 است. همچنین بعد $ \frac{S}{I+J}$ برابر صفر است.

از فرمول عمق برای رشته ی دقیق کوتاه داریم: $$ 0=depth(\frac{S}{I+J}) \geq min\{depth(\frac{S}{I \cap J})-1,depth(\frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J})\}$$ است پس باید $depth(\frac{S}{I \cap J})-1 \leq 0 $ باشد.

طبق فرمول دیگر $$ depth(\frac{S}{I \cap J}) \geq min\{depth(\frac{S}{I+J})+1,depth(\frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J})\}$$ یعنی $$ depth(\frac{S}{I \cap J}) \geq min\{1,2\}=1$$ پس نتیجه می شود که $ depth(\frac{S}{I \cap J})=1 $

اما بعد حلقه برابر 2 است ($dimA=max\{dim \frac{A}{P} : p \in Ass(A)\} $)لذا کوهن مکالی نیست.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
42 نفر آنلاین
0 عضو و 42 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 747
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709889
...