به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
86 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مبستa94
ویرایش شده توسط fardina

حلقه‌ی ‎$S=\frac{K[x_{1},\ldots,x_{n}] }{(x_{1},x_{2}) \bigcap( x_{3} , x_{4} )}$‎ کوهن-مکالی نیست چرا؟ عمق آن را بدست اورید؟

مرجع: monomial idealsکتاب -هرزوگ، هیبی

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

برای راحتی کار قرار میدهیم $s=k[ x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} ]$و$I=( x_{1} , x_{2} )$ و$J=( x_{3} , x_{4} )$ آنگاه دنباله ی دقیق کوتاه زیر را داریم: $$0 \rightarrow \frac{S}{I \cap J} \rightarrow \frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J} \rightarrow \frac{S}{I+J} \rightarrow 0 $$

$ \frac{S}{I} \cong k[ x_{3} , x_{4}] $لذا کوهن مکالی است و بعد و عمق آن برابر 2 است به طور مشابه $ \frac{S}{J} \cong k[ x_{1} , x_{2}] $و بعد و عمق آن برابر 2 است لذا عمق $ \frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J} $ نیز برابر 2 است. همچنین بعد $ \frac{S}{I+J}$ برابر صفر است.

از فرمول عمق برای رشته ی دقیق کوتاه داریم: $$ 0=depth(\frac{S}{I+J}) \geq min\{depth(\frac{S}{I \cap J})-1,depth(\frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J})\}$$ است پس باید $depth(\frac{S}{I \cap J})-1 \leq 0 $ باشد.

طبق فرمول دیگر $$ depth(\frac{S}{I \cap J}) \geq min\{depth(\frac{S}{I+J})+1,depth(\frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J})\}$$ یعنی $$ depth(\frac{S}{I \cap J}) \geq min\{1,2\}=1$$ پس نتیجه می شود که $ depth(\frac{S}{I \cap J})=1 $

اما بعد حلقه برابر 2 است ($dimA=max\{dim \frac{A}{P} : p \in Ass(A)\} $)لذا کوهن مکالی نیست.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
57 نفر آنلاین
0 عضو و 57 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3474
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5009126
...