به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
68 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط math

فرض کنید $P(x)$ یک چند جمله ای با ضرایب حقیقی باشد که برای هر $x \geq 0$ داریم: $p(x)>0$

ثابت کنید عدد طبیعی $n$ وجود دارد که $ (1+x)^{n}.p(x) $ یک جند جمله ای با ضرایب نامنفی شود.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط math
 
بهترین پاسخ

تمام ریشه های حقیقی $p(x)$ (در صورتی که ریشه ای وجود داشته باشد) منفی هستند. فرض کنیم این ریشه ها $-a_1,-a_2,...,-a_k$ باشند . در اینصورت $P(x)$ را می توان به صورت $$P(x)=C(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_k)(x^2-b_1x+c_1)(x^2-b_2x+c_2)...(x^2-b_mx+c_m)\label{1}\tag{1}$$

که $x^2-b_ix+c_i$ ها چندجمله ایهایی درجه دوم بدون ریشه حقیقی هستند یعنی $b_i^2< 4c_i$ .

چون حاصلضرب چندجمله ایهای با ضرایب مثبت باز هم یک چندجمله ای با ضرایب مثبت است پس کافی است این مطلب را برای ضرایب تجزیه $\eqref{1}$ بررسی کنیم. برای عبارات $(x+a_i)$ که واضح است ضرایب مثبت هستند. پس کافی است فقط برای عبارات به صورت $x^2-b_ix+c_i$ که $b_i^2< 4c_i$ این مطلب را اثبات کنیم.

اما بنابر قضیه دوجمله ای برای هر $n\in \mathbb N$ داریم:

$$(1+x)^n(x^2-bx+c)=\sum_{i=0}^{n+2}\big[ \binom{n}{i-2}-b\binom{n}{i-1}+c\binom{i}{n}\big] x^i=\sum _{i=0}^{n+2}C_ix^i$$

که در آن $$C_i=\frac{n!\big( (b+c+1)i^2-((b+2c)n+(2b+3c+1))i+c(n^2+3n+2)\big)x^i}{i!(n-i+2)!}$$

ضرایب $C_i$ از $x^i$ به صورت چندجمله ای هایی درجه دوم برحسب $i$ هستند که به $n$ وابسته اند. ما ادعا می کنیم که این چندجمله ای برای $n$ های به اندازه کافی بزرگ دارای مبین(دلتا) منفی هستند و لذا برای هر $i$ مثبت هستند. در واقع داریم $$\Delta = ((b+2c)n+(2b+3c+1))^2-4(b+c+1)c(n^2+3n+2)=(b^2-4c)n^2-2Un+V$$

که $U=2b^2+bc+b-4c$ و $V=(2b+c+1)^2-4c$ و چون $b^2-4c< 0$ پس برای $n$ های به قدر کافی بزرگ $\Delta< 0$ .

مرجع: کتاب The IMO Compendium(A collection of problems suggested for the international mathematical olympiads: 1954-2004)

دارای دیدگاه توسط math
عالی بود مرسی
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
تلگرام محفل ریاضی
41 نفر آنلاین
0 عضو و 41 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 967
بازدید دیروز: 4860
بازدید کل: 5006619
...