چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
68 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط math

فرض کنید $P(x)$ یک چند جمله ای با ضرایب حقیقی باشد که برای هر $x \geq 0$ داریم: $p(x)>0$

ثابت کنید عدد طبیعی $n$ وجود دارد که $ (1+x)^{n}.p(x) $ یک جند جمله ای با ضرایب نامنفی شود.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
انتخاب شده توسط math
 
بهترین پاسخ

تمام ریشه های حقیقی $p(x)$ (در صورتی که ریشه ای وجود داشته باشد) منفی هستند. فرض کنیم این ریشه ها $-a_1,-a_2,...,-a_k$ باشند . در اینصورت $P(x)$ را می توان به صورت $$P(x)=C(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_k)(x^2-b_1x+c_1)(x^2-b_2x+c_2)...(x^2-b_mx+c_m)\label{1}\tag{1}$$

که $x^2-b_ix+c_i$ ها چندجمله ایهایی درجه دوم بدون ریشه حقیقی هستند یعنی $b_i^2< 4c_i$ .

چون حاصلضرب چندجمله ایهای با ضرایب مثبت باز هم یک چندجمله ای با ضرایب مثبت است پس کافی است این مطلب را برای ضرایب تجزیه $\eqref{1}$ بررسی کنیم. برای عبارات $(x+a_i)$ که واضح است ضرایب مثبت هستند. پس کافی است فقط برای عبارات به صورت $x^2-b_ix+c_i$ که $b_i^2< 4c_i$ این مطلب را اثبات کنیم.

اما بنابر قضیه دوجمله ای برای هر $n\in \mathbb N$ داریم:

$$(1+x)^n(x^2-bx+c)=\sum_{i=0}^{n+2}\big[ \binom{n}{i-2}-b\binom{n}{i-1}+c\binom{i}{n}\big] x^i=\sum _{i=0}^{n+2}C_ix^i$$

که در آن $$C_i=\frac{n!\big( (b+c+1)i^2-((b+2c)n+(2b+3c+1))i+c(n^2+3n+2)\big)x^i}{i!(n-i+2)!}$$

ضرایب $C_i$ از $x^i$ به صورت چندجمله ای هایی درجه دوم برحسب $i$ هستند که به $n$ وابسته اند. ما ادعا می کنیم که این چندجمله ای برای $n$ های به اندازه کافی بزرگ دارای مبین(دلتا) منفی هستند و لذا برای هر $i$ مثبت هستند. در واقع داریم $$\Delta = ((b+2c)n+(2b+3c+1))^2-4(b+c+1)c(n^2+3n+2)=(b^2-4c)n^2-2Un+V$$

که $U=2b^2+bc+b-4c$ و $V=(2b+c+1)^2-4c$ و چون $b^2-4c< 0$ پس برای $n$ های به قدر کافی بزرگ $\Delta< 0$ .

مرجع: کتاب The IMO Compendium(A collection of problems suggested for the international mathematical olympiads: 1954-2004)

دارای دیدگاه توسط math
عالی بود مرسی
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
55 نفر آنلاین
0 عضو و 55 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3536
بازدید دیروز: 6872
بازدید کل: 4687344
...