چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
1,039 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط مهسا
ویرایش شده توسط fardina

سلام. می خواستم درمورد "ساخت مجموعه های اندازه ناپذیر" تحقیق کنم,کتابای فولند,آلیپرانتیس,رویدن و رودین رو نگاه کردم اما همشون فقط درمورد اندازه پذیری توضیح دادنو از اندازه ناپذیری چیزی نگفتن,به کمکتون احتیاج دارم,ممنون میشم راهنماییم کنید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر دنبال مثال هایی از مجموعه های اندازه ناپذیر میگردید معمولا در همه ی کتاب های آنالیزی مثال معروف ویتالی رو آوردن. برای مثال فصل اول کتاب فولند (Real Analysis-Modern techniques and their applications" فصل اول در همون ابتدا به تشریح این مثال پرداخته:

یک رابطه هم ارزی روی $\mathbb R $ به صورت زیر تعریف کنید: $$ x\sim y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb Q $$ این یک رابطه هم ارزی بوده و کلاس های هم ارزی به شکل: $$\begin{align} [x]&=\{y\in\mathbb R: x\sim y\}\\ &=\{x+r: r\in\mathbb Q\}\\ &=\mathbb Q +x\end{align}$$ می دانیم که این کلاس های هم ارزی یا با هم مساوی اند یا از هم جدا هستند یعنی: $$ \forall x,y\in\mathbb R, \quad \ \ [x]=[y]\quad or \ \ [x]\cap [y]=\emptyset $$ و همچنین کلاس های هم ارزی تشکیل یک افراز برای اعداد حقیقی می دهند: $$\bigcup_{x\in\mathbb R}[x]=\mathbb R $$ . همه ی کلاس های هم ارزی شمارا هستند در حالیکه $ \mathbb R $ ناشمارا است. لذا باید تعداد ناشمارایی از این کلاس های هم ارزی مخالف هم باشند.

حال با استفاده از اصل انتخاب یک مجموعه ی $N $ که دقیقا از انتخاب یک عضو از هر کدام از آن کلاس های هم ارزی از هم جدا تشکیل شده است وجود دارد. به عبارت دیگر ما مجموعه $ N $ را با انتخاب فقط یک عضو از هر کدام از آن کلاس های مجزا از هم انتخاب می کنیم. خوب پس $N $ این خواص رو داره:

  • $ N $ ناشمارا است.

  • $ x,y\in N \Rightarrow x\nsim y\Rightarrow x-y\notin\mathbb Q $
  • $ \{[x]:x\in N\} $ مجموعه تمام کلاس های هم ارزی مجزا است.

  • $ \bigcup_{x\in N}[x]=\bigcup_{x\in N} (\mathbb Q+x)=\mathbb R $ .

حال تعریف می کنیم: قسمت اعشاری $ x\ mod\ 1\ =x$

یعنی $y=x\ mod\ 1 $ یک عدد در بازه ی $ [0,1) $ است به طوریکه $ x=y+n $ برای یک عدد صحیح $ n $ .

حال به جای هر $x\in N $ قسمت اعشاری آن را در نظر می گیریم و مجموعه $ N $ را با مجموعه ی زیر عوض می کنیم: $$ \{ x\ mod\ 1: x\in N\} $$ . این $ N$جدید دارای خواص مشابهی مانند $ N$قبلی است. یعنی شامل یک عضو از هر کلاس هم ارزی مجزا است. و از طرفی حالا می دانیم که $N\subset[0,1) $ .

ادعا می کنیم که این $ N $ جدید اندازه پذیر نیست!

اثبات: فرض کنیم اندازه پذیر باشد. در اینصورت کارهای زیر را انجام می دهیم:

فرض کنید $ N_r $ انتقالی از $ N $ به اندازه ی $ r $ باشد و سپس از آن
$ mod\ 1$ بگیرد تا $N_r $ داخل $[0,1) $ باقی بماند:(یه شکل برای خودتون بکشید) $$ \begin{align} N_r&=(N+r)\ mod\ 1\\ &=\{x+r\ mod\ 1:x\in N\}\\ &=\big(N+r\cap[0,1)\big)\cup\big( N+r-1\cap[0,1)\big) \end{align}$$ حال مجموعه های $ N_r $ برای $$ r\in R=\mathbb Q\cap [0,1) $$ را در نظر بگیرید.

واضح است که فقط تعداد شمارایی از مجموعه های $ N_r $ با $ r\in R $ موجود است. حال داریم:

  • مجموعه های $N_r $ که $ r\in R $ مجموعه ی $ [0,1) $ را می پوشانند.(چرا؟)

  • مجموعه های $ N_r $ که $r\in R $ مجزا هستند.(چرا؟)

بنابر دو نکته بالا داریم: $$[0,1)=\bigcup_{r\in R}N_r $$ یک اجتماع شمارا از مجموعه های دو به دو مجزا! بنابراین داریم: $$ 1=m\big([0,1)\big)=m(\bigcup_{r\in R}N_r)=\sum_{r\in R}m(N_r) $$ اما از طرفی : $$m(N_r)=m(N) $$ .( چون $N_r $ فقط انتقالی از $N $ است)

بنابراین داریم: $ 1=\sum_{r\in R}m(N) $ .

اما مجموع سری در سمت راست می تواند صفر(اگر $ m(N)=0 $ ) و یا بینهایت( اگر $ m(N)>0$ )باشد. پس در هر صورت یک تناقض است. لذا باید مجموعه $ N $ اندازه پذیر نباشد.

توجه: در تمرینات اخر فصل اول کتاب فولند سوال 29 همچین تمرینی داریم:

فرض کنید $ E $ یک مجموعه لبگ اندازه پذیر باشد. اگر $ m(E)>0 $ باشد آنگاه $ E $ شامل یک مجموعه اندازه ناپذیر است.

امیدوارم این مطلب کمکتون کنه.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
62 نفر آنلاین
0 عضو و 62 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 351
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709493
...