چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
383 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط فاطمه
ویرایش شده توسط فاطمه

حد $\lim_{x\to 0}\frac{x -\sin x }{ x^{3} }$ را بدون استفاده از هم ارزی و هوپیتال بیابید.

3 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فرض کنید که $L=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$ موجود باشد. در اینصورت داریم:

$$\begin{align}L&=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{2\frac x2-2\sin \frac x2\cos \frac x2 }{8(\frac x2)^3}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{2\frac x2-2\sin\frac x2+2\sin\frac x2-2\sin \frac x2\cos \frac x2 }{8(\frac x2)^3}\\ &=\frac 28\lim_{x\to 0}\frac{\frac x2-\sin\frac x2}{(\frac x2)^3}+\frac 28\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac x2(1-\cos \frac x2)}{(\frac x2)^3}\\ &=\frac 14L+\lim_{x\to 0}\frac{\frac x2(2\sin ^2\frac x4)}{\frac x2(\frac x4)^2}\\ &=\frac 14L+\frac 18\end{align}$$

بنابراین $\frac 34L=\frac 18$ یا $L=\frac 16$

دارای دیدگاه توسط salman
خوب پاسخ حد دوم که 1/8 شد رو چطور محاسبه کردید؟ اونجا باز از هم ارزی استفاده کردید که؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@salman
این دیگه قضیه معروفیه که $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
برای دیدن یک اثبات اینجا رو ببینید:http://math.irancircle.com/113/
دارای دیدگاه توسط عقیل خلیلاوی
–1
سلام
از کجا میدونیم که این تابع حد دارد و حد این تابع برابر مقدار L می باشد؟چطور اینو توجیه میکنید؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@عقیل+خلیلاوی
سوال این‌نیست. سوال اینه که ما میدونیم حد وجود دارد(مثلا با استفاده از هم ارزی یا هوپیتال یا روش های دیگه میتونید نشون بدید که حد وجود دارد!) و حالا میخواهیم به کمک روشی جز هم ارزی و هوپیتال حاصل حد رو بدست بیاریم.
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط behruz

با سه بار استفاده از قانون هوپیتال می توان به جواب سوال رسید.

$ \dfrac{x-sin(x)}{x^3} \Longrightarrow \dfrac{1-cos(x)}{3x^2} \Longrightarrow \dfrac{sin(x)}{6x} \Longrightarrow \lim_{x \to 0} \dfrac{cos(x)}{6}=\dfrac{1}{6} $
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
+2
اگر به سوال دقت کنید نوشته بدون استفاده از هم ارزی و هوپیتال !
دارای دیدگاه توسط behruz
+1
@keyvan1371
سلام آن وقتی من داشتم مینوشتم فقط نوشته بود هم ارزی سوال رو تغییر دادند!
دارای دیدگاه توسط فاطمه
+1
سلام بله ببخشید، هوپیتال را بعدا لحاظ کردم، اون لحظه هوپیتال را درنظر نگرفته بودم
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط کیوان عباس زاده

بسط مک لورن تابع $sin (x)$ حول نقطه $x=o$ به صورت زیر است : $$sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$ حال در حد بالا جاگذاری می کنیم : $$ \begin{align}lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-sin(x)}{x^3}&=lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...)}{x^3}\\&=lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{3!}-\frac{x^2}{5!}+\frac{x^4}{7!}-...)\\&=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}\end{align} $$

دارای دیدگاه توسط فاطمه
+1
@keyvan1371
سلام سوال در سطح دبیرستان مطرح شده، در دبیرستان بسط مک لورن تدریس نمیشود.
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
+2
سلام . بله حق با شماست . راه حل دیگری برایتان می نویسم .
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
@keyvan1371
من فکر میکردم منظور از هم ارزی که ستفاده میشه همین استفاده کردن از بسط مک لورن(یک یا چند جمله ی ابتدایی) هست. غیر از اینه؟
لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
70 نفر آنلاین
0 عضو و 70 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3765
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712906
...