به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
128 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

ثابت کنید 0 در R تحویل ناپذیر است اگر و تنها اگر (0) در A تحویل ناپذیر باشد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید که 0 عضوی تحویل ناپذیر باشد لذا به صورت $ab $ که هم $ a $ و هم $ b$ غیر یکه هستند، نمیتوان آن را نوشت.

نشان میدهیم که $(0)$ ایده آلی تحویل ناپذیر است.

فرض خلف: فرض کنید تحوبل پذیر باشد لذا میتوان نوشت $(0)= I_{1} \cap I_{2} $ که در آن $ I_{1} \neq (0)$و $ I_{2} \neq (0)$

از اینکه $ I_{1} \neq (0)$ لذا وجود دارد $a \in I_{1} \setminus (0) $، این عنصر یکه نیست (چرا؟) به طور مشابه وجود دارد $b \in I_{2} \setminus (0) $ اما $$ab \in I_{1} I_{2} \subseteq I_{1} \cap I_{2}=(0)$$ یعنی $ab \in (0) $ پس $ab=0 $ واین خلاف فرض است. پس فرض خلف باطل و حکم اثبات شد.

برای برعکس هم میتوان از فرض خلف استفاده کرد یعنی فرض کنیم $0=ab $ کافیست قرار دهیم $I_{1}=(a) $ و $I_{2}=(b) $

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...