چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
190 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط MK90

در تعریف تابع علامت ($sign \pi = \prod _{1 \leq i < j \leq n} \frac{ \pi (i)- \pi (j)}{i-j} $) روی تابع دوسویی $ \pi : {1,2,...,n} \rightarrow{1,2,...,n} $ چرا i-j و j-i همزمان در صورت کسر اتفاق نمی افتد؟ $$sign \pi ^{-1} = sign \pi $$ $$sign \pi _{1} \pi _{2} = sign \pi _{1} sign \pi _{2}$$

دارای دیدگاه توسط MK90
+1
برای سوال اول می توان از برهان خلف استفاده کرد

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

دلیل اینکه $ i-j $ و $j-i $ همزمان در صورت اتفاق نمی افتد این است که فرض کنید $ i-j $ در صورت اتفاق بیافتد پس یک $ r $ و یک $ s $ وجود داشته که $\pi(r)=i $ و $ \pi(s)=j $ و طبق تعریف تابع علامت داریم $ r < S $

زمانی $j-i $اتفاق می افتد که $ \pi(s)- \pi(r) $ داشته باشیم اما طبق تعریف تابع امکان پذیر نیست. چون $ r < S $ است.

برای قسمت دوم در تعریف تابع علامت برای $sgn(\pi)$ از اینکه $i < j $ داریم مخرج مثبت است. اگر صورت نیز مثبت باشد بودن یا نبودن آن جمله در تغییر علامت تاثیر ندارد پس در واقع می توانیم بنویسیم: $$ sign \pi = \prod _{1 \leq i < j \leq n $ \pi (i)< \pi (j)} \frac{ \pi (i)- \pi (j)}{i-j} $$

و این حکم $$sign \pi ^{-1} = sign \pi $$ را ثابت می کند. چون: $$ sign \pi ^{-1} = \prod _{\pi (i)< \pi (j) $ 1 \leq i < j \leq n} \frac{i-j}{ \pi (i)- \pi (j)} $$

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
60 نفر آنلاین
0 عضو و 60 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3261
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4712402
...