چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
232 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

عدد $ \pi^e $ بزرگتر است یا $ e^ \pi $ ؟ ( $ e$ عدد نپر است)

6 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

$$x>e\implies \frac1x<\frac1e\implies \int_e^{\pi}\frac1x\,dx<\int_e^{\pi}\frac1e\,dx\implies \log \pi < \frac{\pi}e\implies \pi^e<e^\pi$$

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

کافی است تابع $f(x)=\frac{\ln x}x$ را در نظر بگیرید و مشاهده کنید برای $x> e$ نزولی است و لذا $f(e)> f(\pi)$ که از آنجا به $e^\pi> \pi^e$ خواهید رسید.

دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
آفرین خیلی خوب بود  !
دارای دیدگاه توسط کیوان عباس زاده
سلام  . اصل مطلب همینه که بدونیم اون تابع از کجا اومده ؟
دارای دیدگاه توسط fardina
+2
حقیقتش من این سوالو چند سال پیش دیده بودم نمیخوام ایده رو به خودم نسبت بدم. ولی فکر کنم روند اثبات نشون میده چرا باید همچین چیزی به ذهنمون برسه. چرا که $e^\pi<\pi^e$ اگر وتنها اگر با ln گرفتن
 $\frac{\ln e}e<\frac{\ln\pi}\pi$
شاید شما بتونید تابع دیگه ای در نظر بگیرید یا روش دیگه ای پیدا کنید.
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

می دانیم $ e^{y} >1+y $برای هر $y>0$.قرار می دهیم $y= \frac{x-e}{e} $ به راحتی نتیجه می شود $ e^{ \frac{1}{e} } > x^{ \frac{1}{x} } $. حال قرار می دهیم $x= \pi $و مسئله حل می شود.این اثباتی قرن نوزدهمی از جاکوب استینر بود.

روش دوم سطح زیر نمودار تابع $y=lnx$ بین $x=e$و $x= \pi $و $y=0$ رو درنظر می گیریم.بدیهیه که $( \pi -e)ln \pi > \int_e^ \pi lnxdx $پس داریم $ ( \pi -e)ln \pi > \pi ln \pi - \pi $یا $ \pi >eln \pi $پس $ e^{ \pi } > \pi ^{e} $.

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

enter image description here

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط saderi7

$$\displaystyle \pi \ne e$$

$$e^x > 1 + x \rightarrow x \neq 0 $$

$$e^{\pi/e -1} > \pi/e$$

$$e^{\pi/e} > \pi$$

$$e^{\pi} > \pi^e$$

دارای دیدگاه توسط kazomano
این همون اثبات بالائیه
دارای دیدگاه توسط saderi7
@kazomano
بله شما درس میفرمایید . توجه نکردم که شما با این روش اثبات کردید.
–1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Erfan.Sh.a.
ویرایش شده توسط Erfan.Sh.a.

سوال آسونیه!

e=2.71828182845905

π=3.14159265358979

پس e به توان π زیادتره

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 4476
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4699516
...